El espacio: De Euclídes a Einstein Roy McWeeny

(en cada paso), hasta obtener e inα después de n pasos. Los dos procesos son
equivalentes. Así, tomamos un proceso cualquiera y decimos que
cos(nα) =C nα y sin(nα) =S nα (4.18)
son las expresiones algebraicas para el coseno y el seno de cualquier ángulo
nα.
De este modo, para cualquier ángulo θ tenemos las expresiones generales
cos θ =1− θ2
2! + θ4
θ3
− ... y sin θ = θ −
4! 3! + θ5
− .... (4.19)
5!
Además, teniendo cuenta nα = θ en (4.17), tendremos que
e iθ = exp iθ = cos(θ)+i sin(θ). (4.20)
Los resultados anteriores nos llevan a otros. Por ejemplo, para cualquier θ
podemos elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación (4.20), obteniendo
así
e 2iθ = (cos θ + i sin θ) 2 = (cos θ) 2 − (sin θ) 2 +2i sin θ cos θ.
Sin embargo, también sabemos que
e 2iθ = cos 2θ + i sin 2θ
ç y (como vimos en la sección 5.2 del libro 1) que dos números complejos
son iguales sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales por separado.
Comparando las dos últimas ecuaciones vemos que
cos(2θ) = (cos θ) 2 − (sin θ) 2 y sin(2θ) = 2 sin θ cos θ. (4.21)
Así, pues, conociendo el valor del seno y del coseno de cualquier ángulo
puedes obtener fácilmente los valores que corresponden al ángulo doble. Por
ejemplo, sabemos que sin(π/4) = cos(π/4) = √ 2/2 (a partir de un triángulo
rectángulo con lados 1, 1, √ 2). Doblando el ángulo obtenemos sin(π/2) = 1
y cos(π/2) = 0; volviéndolo a doblar, sin(π) = 0 y cos(π) =−1; y doblándolo
de nuevo otra vez, sin(2π) = 1 y cos(2π) = 0. El ultimo resultado nos muestra
que el ángulo 2π (ó 360 grados) no es diferente ce cero; cada rotación de 2π
no aporta nada nuevo. Se dice que la dependencia del seno o el coseno con el
ángulo es periódica, es decir, toman el mismo valor siempre que el ángulo se
incrementa en una cantidad de 2π, denominada período. En otras palabras,
e 2πi =1. (4.22)
32