CONFINAMIENTO NANOSC´OPICO EN ESTRUCTURAS ... - It works!

98 Capítulo 5: Confinamiento dieléctricodescentrado bajo esta aproximación [228, 229]. Esta última predicción puedeexplicarse del siguiente modo: En la aproximación de confinamiento fuerte,E b se calcula como el valor expectación, con signo contrario, del potencialV I [Ecs. (5.25)-(5.31)] en el estado fundamental 1s del QD sin impureza.La parte angular de la función de onda correspondiente es simplemente unaconstante Y0 0(θ,φ)= 1/√ 4π, por lo que, en la integral a evaluar, únicamentelos términos P l de V I contienen las variables angulares (θ,φ). Considerandoque los polinomios de Legendre pueden expresarse como [235]:( )zP l √z 2 + ρ 2= 4π2l + 1m=l∑m=−lY ml (θ 0 ,φ 0 ) ∗ Y ml (θ,φ), (5.33)donde (θ 0 ,φ 0 ) son las coordenadas angulares (fijas) de la impureza, y que1√4π〈Y ml (θ,φ)〉 = 〈lm|00〉 = δ l,0 δ m,0 , (5.34)se obtiene que(z〈P l √)〉 = 4πδ l,0 δ m,0 . (5.35)z 2 + ρ 2Así pues, únicamente los términos l = 0 de las ecuaciones (5.25)-(5.31)contribuyen a la estimación perturbacional a primer orden de E b . El resultadoes análogo al que se obtendría si V I se redujese aV 1,1I(l = 0) = − 1ǫ dot r >−( 1ǫ out− 1ǫ dot) 1R , r ≤ R (5.36)V 1,2I(l = 0) = − 1ǫ out r >, r > R (5.37)donde r > = r si r > z 0 y r > = z 0 si r < z 0 , siendo r la coordenada radialdel electrón y z 0 la de la impureza. En otras palabras, únicamente V 1,1Idepende de la posición de la impureza, y esta dependencia (menor |V 1,1I|cuanto mayor es z 0 ) conduce siempre a una disminución de E b frente a z I .La figura 5.10, que representa de forma esquemática el potencial efectivoexpresado por las ecuaciones (5.36)-(5.37), permite inferir de forma visualeste resultado.El razonamiento anterior también ayuda a entender porqué la aproximaciónperturbacional funciona adecuadamente para impurezas centradas(z I = 0), mientras que se deteriora con el aumento de z I [ver figura 5.9(a)].