CONFINAMIENTO NANOSC´OPICO EN ESTRUCTURAS ... - It works!

10 Capítulo 1: Fundamentos teóricosEn sistemas con simetría esférica, la consideración de las dependencias dela masa efectiva con la energía y la posición (tomando la expresión adecuadadel operador de energía cinética) en el hamiltoniano k · p - EFA de unabanda conduce a la siguiente ecuación diferencial para el movimiento de loselectrones de conducción, expresada en unidades atómicas (u.a.) 6 y en la quese ha integrado analíticamente las coordenadas esféricas angulares (θ,φ):[− 1 2( ( 1 ∂ r 2r 2 ∂r m ∗ (E n,l ;r)∂∂r)−)l(l + 1)r 2 m ∗ (E n,l ;r)+V (r) − E n,l ]ψ n,l (r) = 0, (1.19)donde n es el número cuántico principal y l el número cuántico asociadoal momento angular del electrón. Análogamente, para sistemas con simetríacilíndrica y tras integrar la coordenada angular φ se obtiene:[− 1 2( 1ρ∂∂ρ(ρ ∂m ∗ (E n,mz ;ρ,z) ∂ρm 2 z−ρ 2 m ∗ (E n,mz ;ρ,z)donde m z es la proyección z del momento angular.)+ ∂ 1 ∂∂z m ∗ (E n,mz ;ρ,z) ∂z) ]+ V (ρ,z) − E n,mz ψ n,mz (ρ,z) = 0, (1.20)Cuando se consideran los efectos derivados de la no parabolicidad de labanda, las ecuaciones (1.19) y (1.20) dependen implícita y explícitamentede la energía, lo que obliga a adoptar un método iterativo para determinarla energía de forma auto-consistente. Sin embargo, puesto que integramosla ecuación diferencial correspondiente siguiendo un procedimiento dediagonalización matricial (sección 1.6), el proceso iterativo sólo asegura laconvergencia para el estado fundamental de cada simetría (l ó m z ). Paraestados excitados empleamos en su lugar un método alternativo basado enel conocimiento del aumento de la masa efectiva con la energía. Una primeraintegración de la ecuación diferencial utilizando como masa efectivala correspondiente al extremo de la banda [m ∗ (r,0), la menor de toda labanda y la única de cuyo valor experimental disponemos] nos ofrece unacota superior de la energía exacta. Una segunda integración en que tomamosla masa efectiva correspondiente a esta cota superior [obtenida a partir6¯h = |e| = m 0 = ε 0 = 1, siendo m 0 la masa del electrón libre, e su carga y ε 0 lapermitividad dieléctrica del vacío. En lo sucesivo trabajaremos con estas unidades, por loque m ∗ y ε harán referencia a la masa efectiva y constante dieléctrica relativas.