CONFINAMIENTO NANOSC´OPICO EN ESTRUCTURAS ... - It works!

3.1 Funciones de Wannier 373.1.1. Función de Wannier dependiente del tiempoUna función de Wannier no es autofunción del hamiltoniano periódico,sino una combinación lineal de autovectores cuyo valor expectación de laenergía es el promedio de la banda:E G =∫ ∞= b2π= b2π= 12πω G (r) ∗ Ĥ ω G (r)dr−∞∫ π/b∫ π/b−π/b∫ π/b−π/b∫ π−π−π/bE(k)dk∫ ∞dk dk ′ e iG(k−k′ )b E(k ′ ) dr φ k (r) ∗ φ k ′(r)−∞E(k)dk (3.8)Este estado no estacionario evoluciona con el tiempo como sigue:ω G (r,t) = ( b2π )1/2 ∫ π/b−π/be −ikGb e −iE(k)t/¯h φ k (r) dk, (3.9)de modo que la Ec. (3.4) es el caso particular para t = 0 de la Ec. (3.9).En el caso de red vacía (es decir, en el caso en que el potencial periódicodel cristal es simplemente una constante), las ondas de Bloch tienen la formaφ k (r) = ( 12π )1/2 e ikr . Por tanto, definiendoc(k) ={=√b e−ikGbsi − π b ≤ k ≤ π b= 0 en otro caso(3.10)podemos identificar formalmente la Ec. (3.9) con un paquete de ondasW(x,t) =∫ ∞−∞c(k) e −iE(k)t/¯h e ikx dk. (3.11)Sin embargo, en un paquete de ondas, c(k) es una función gaussiana[c(k) = (2σ 2 0 π3 ) −1/4 e −(k−k 0) 2 /σ 2 ], en lugar de un factor de fase como en laEc. (3.9). Por tanto, no podemos esperar la misma evolución temporal deestos dos estados no estacionarios, aunque sí algunas similitudes.Un paquete de ondas es una función gaussiana con un máximo en x =¯hk 0 t/m, y una anchura media σ(t) = |σ 0 + i¯hσ 02mt| que se desplaza a una