CONFINAMIENTO NANOSC´OPICO EN ESTRUCTURAS ... - It works!

1.4 Aplicación de un campo magnético externo 11de (1.18)] nos permite obtener una cota inferior. Una vez acotado el valorde la energía exacta, un sencillo procedimiento de escaneo hace posible sudeterminación con la tolerancia deseada [57].1.4. Aplicación de un campo magnético externoEn presencia de un campo magnético externo, el operador momento cinemáticoˆp se sustituye por ˆp − eA, donde ˆp es ahora el momento canónicoconjugado, e la carga de la partícula sometida al campo y A el potencialvector (B = ∇ ∧ A) [58]. Así pues, el hamiltoniano de un electrón libre enun cristal semiconductor y en presencia de un campo magnético externo es,en unidades atómicas,Ĥ = 1 2 (ˆp + A)2 + V cr (r). (1.21)Estrictamente, el modo correcto de introducir la acción del campo magnéticoen el hamiltoniano k · p - EFA debe partir de la ecuación (1.21),efectuando la integración de las funciones de Bloch una vez se ha realizadola sustitución ˆp → ˆp − eA. No obstante, ya desde el trabajo pionero de Luttinger[59], la mayoría de autores realizan esta sustitución tras la integración.Aunque existen diferencias entre los resultados de uno y otro procedimiento,Planelles y Jaskólski [60] demostraron que, para la aproximación de unabanda, ambos convergen cuando el campo es homogéneo y el sistema presentasimetría axial. Puesto que este caso es el que nos interesa, efectuaremos lainclusión del campo magnético partiendo del hamiltoniano k · p - EFA, quereescribimos en unidades atómicas teniendo en cuenta el orden adecuado deloperador de energía cinética:Ĥ = 1 2 (ˆp + A) 1m ∗ (ˆp + A) + V (r). (1.22)(r)Expandiendo la Ec. (1.22) se obtieneĤ = 1 [1ˆp2 m ∗ (r)ˆp +A2m ∗ (r) + 1m ∗ (r) Aˆp + 1m ∗ (r) ˆpA + (1ˆpm ∗ (r)) ]A +V (r).(1.23)Definimos nuestro potencial vector como A = (− 1 2 y, 1 2x,0)B (gauge simétrico),el cual cumple la condición de Coulomb ∇A = 0 y proporciona un