contenu des enseignements de tronc commun - MINES ParisTech

PROGRAMME DÉTAILLÉ DU CURSUS CHAPITRE 3115PROBLÈMES INVERSESResponsable : M. KERNObjectifUn problème inverse consiste à vouloir déterminerl’état interne d’un système, à partir d’observations,connaissant la structure du système. Il s’opposeau “problème direct”, plus habituel. Les problèmesinverses sont omniprésents en science et eningénierie, par exemple dès que l’on cherche desinformations sur un système sans pouvoir lesmesurer directement.Des exemples sont fournis par toutes les techniquesd’imagerie médicale, mas sont aussi abondantsdans les sciences de la terre (sismique pétrolière),l’astronomie (restauration d’images bruitées), lafinance (calibration de volatilité). Les problèmesinverses manifestent le plus souvent un caractèreinstable, lié au fait que des causes multiplespeuvent produire les mêmes effets.Le but de ce cours est d’abord de présenter surdivers exemples l’origine des problèmes inverses,de mettre en évidence leur instabilité, de présenterdes méthodes pour analyser ces problèmes, etdonner quelques outils pour obtenir des solutions,et en évaluer la qualité.Le cours montrera ce qu’est une méthode derégularisation, et comment l’utiliser, en mettant enévidence le compromis fondamental entre stabilitéet précision. Il introduira également quelques outilsnumériques permettant d’analyser un problèmeinverse: la décomposition en valeurs singulières,et la méthode de l’état adjoint.Des travaux pratiques permettront d’illustrer cesconcepts sur des exemples.Programme- Introduction: origine des problèmes inverses,exemples (équations intégrales)- Modèles linéaires: moindres carrés, décompositionen valeurs singulières- Régularisation: méthode de Tikhonov, stratégies àpriori et à posteriori- Statistiques: régression, estimation Bayésienne- Modèles non-linéaires: paramètre. état,observation, lien avec l’optimisation- État adjoint: calcul de gradient, équationsdifférentielles, paramétrisation- Mini-projetPROCESSUS STOCHASTIQUESResponsables : F. PRETEUX, S. BONNABEL.ObjectifPrésenter les principes de la théorie des processusstochastiques, aborder, de façon non exhaustive,certains des nombreux domaines d’application :l’imagerie, le contrôle stochastique et la finance.ProgrammeAprès des rappels et compléments de probabilités,sont abordés successivement les chaînes deMarkov et ses applications à l’imagerie, lesprocessus de Poisson à n dimensions, et enfin lemouvement brownien et les équations de diffusion,particulièrement utilisés en modélisation financière.Ce cours s’adresse aux élèves qui s’intéressentaux mathématiques appliquées et en particulieraux optionnaires inscrits dans les options, Financequantitative, Géostatistique, ainsi que Mareva.Le cours comprend des séances magistrales, desENSEIGNEMENTS AU CHOIX2 ÈME / 3 ÈME ANNÉE