Obra Completa

RECTILÍNEA 7
O seno de um minuto segundo, exacto até á decima quinta decimal,
é 0,00000.48481.36811 = sen. 1" (n.° 2, cq. 11) (13); e por ser
cos. 1"=^i — sen' 1" resultará cos. 1" = 0,99999.99999.88248
(14); com a mesma approximação do seno.
O coefficiente de A 0 em (n.° 2, eq. 9), multiplicado por 6x3x10,
dà em producto o número ir, com erro menor do que a unidade escripta
na vigésima casa * decimal.
4. A fórmula cos. 2 a + sen. 2 a—1 pôde escrever-se assim
(cos. a + V—1 sen. a) (cos. a — ^—1 sen. a) == 1: os factores cos. a +
^ —1 sen. a, cos.a——1 sen. a, são as Taizesy 1 y 2 da equação do segundo
grau y 1 —2y cos. a -+ 1 =0: supponhamos pois que são dadas m
equações do segundo grau y 1 -—2y cos.a+ 1=0, y 2 —2y' cos.a' ;-1=0, «/'' 2
—2y" cos. a"+1=0..,.; multipliquem-se entre si as raizes d'estas equações,
que forem da fórma J/,= cos. A+'' —1 sen. A; e depois todas as raizes
da fórma y.,=cos. A— ^—lsen.A; e alcançaremos
2/, y t ' ^m- 1 J=COS. (a -J- a'.... at" 1 " 1 ))1 sen. (a+a'....). .. (1)
2/* V J-- 2/, (m - 1 > = cos. (a-f a'....-fa(m-1))_.i^ZTsen. (a+a'....) (2).
Se em (1) e (2) fizermos a = a'=a"....= a( wí - 1 ), (1) e (2) se transformarão
em
y= (cos.a — 1 sen. a) m = cos.rna + 1 sen. m a..,. (3)
y 2 m = (cos. a — ^—1 sen. *) m — cos. m a— ^—1 sen. m a....(4)
D'estas fórmulas conclue-se
2 cos. m z=(cos. a-f ^—1 sen. a)" 1 + (cos. a —^—1 sen. a) m .... (5)
^—lsen.ma=(cos.a-f^—1 sen.a)" 1 —(cos.a—^—1 sen. •*)'".... (6)