FE-BGDK - Dlubal Software

2 Theoretische Grundlagen
2.1.3 Bestimmung der Vorverformung
Die Bestimmung der Vorverformung erfolgt durch Lösen des Eigenwertproblems:
( K − λ ⋅ I)
⋅ Φ = 0
Gleichung 2.1: Eigenwertanalyse
In Gleichung 2.1 ist die Steifigkeitsmatrix K eine Funktion der Normalkräfte und Momente
des Grundlastzustandes. I ist die Einheitsmatrix.
Durch Lösen des Eigenwertproblems mit einem iterativen Verfahren wird der zum niedrigsten
Eigenwerte gehörende Eigenvektor Φ bestimmt, der dann die Form der Vorverformung
bestimmt. Die Skalierung der Vorverformung erfolgt nach DIN 18800 Teil 2.
2.1.4 Berechnung nach Theorie II. Ordnung
Für die Berechnung nach Theorie II. Ordnung werden folgende Voraussetzungen und Annahmen
getroffen:
• Die Querschnitte sind dünnwandig und abschnittsweise konstant.
• Die einzelnen Stabelemente werden als gerade angesehen.
• Die Querschnittsform soll bei der Verformung des Stabes erhalten bleiben. Damit sind
lokale Instabilitäten ausgeschlossen, die ggf. auch durch Querschnittsaussteifungen zu
verhindern sind.
• Für die Biegebeanspruchung gilt die BERNOULLI-Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte.
• Die Verschiebungen und Verdrehungen sind klein gegenüber den Systemabmessungen.
Die nach Theorie II. Ordnung ermittelten Schnittgrößen sind bereits auf das verschobene
und verdrehte Koordinatensystem bezogen und brauchen deshalb für die Spannungsberechnung
nicht transformiert werden.
Der Nachweis für ein Biegetorsionsproblem kann in FE-BGDK unterschiedlich ausgeführt
werden. Dazu gehören:
1. Bestimmung des kritischen Lastfaktors am unverformten System
2. Bestimmung des kritischen Lastfaktors am verformten System
3. Nachweis der Spannungen unter Bemessungslast
4. Berechnung der maximal aufnehmbaren Last unter Einhaltung der Spannungen
Grundsätzlich erfolgt die Berechnung iterativ, wobei sich die Steifigkeitsmatrix K infolge bereits
berechneter Schnittgrößen und Verformungen ändert. Für die Nachweise nach den
obigen Punkten 2, 3 und 4 werden vor der eigentlichen iterativen Berechnung die Eigenformen
mit den Schnittgrößen des ersten Schrittes ermittelt und gemäß Kapitel 2.6.2 berücksichtigt.
Die Bestimmung des kritischen Lastfaktors nach Punkt 1 oder 2 liefert die Stabilitätslast des
untersuchten Tragwerkes. Diese ist in einer numerischen Berechnung dadurch gekennzeichnet,
dass entweder die Determinante der Matrix K zu null wird oder bei der Berechnung für
sehr kleine Lastzuwächse sehr große Verschiebungen auftreten. In beiden Fällen erkennt
FE-BGDK, dass der zugehörige Gleichgewichtszustand nicht mehr stabil ist.
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