Dissertationen - DGK

2.4. Statistische Eigenschaften 23
langen Weg innerhalb der Auflösungszelle, was zu einer unterschiedlichen Phase je Streuelement führt.
Das rückgestreute Gesamtsignal ergibt sich aus phaseninkohärenten, zufälligen Überlagerungen der reflektierten
Wellen (Abbildung 2.8(b)). Dies kann zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz führen,
die sich in der empfangenen Leistung niederschlägt. Diese „zufälligen“ Signalschwankungen werden als
Speckle-Effekt bezeichnet und wachsen mit der Intensität des Signals.
(a)
Abbildung2.8. (a) Einzelne Streuelemente in einer Auflösungszelle und ihre rückgestreuten Wellen als Vektoren (Länge=Signalstärke,
Richtung=Phase) (b) Signal als Summe der rückgestreuten Wellen einzelner Streuelemente
Der Speckle-Effekt ist theoretisch jedoch kein zufälliger Effekt sondern das Ergebnis eines deterministischen,
elektromagnetischen Prozesses, der aufgrund der Aufsummierung der kohärenten Signale
zustande kommt. Theoretisch ergeben sich unter gleichen Gegebenheiten die gleichen Interferenzen.
Aufgrund des Einflusses der n Streuelemente liefert eine erneute Messung aber in der Praxis selten
dasselbe Ergebnis. Der einzelne Messwert wird deshalb als Zufallsgröße betrachtet. Eine Zufallsgröße
ist definiert als Messwert, der bei verschiedenen, unter gleichen Bedingungen ausgeführten Messungen
verschiedene, zufällige Werte annehmen kann.
2.4.2 Statistische Eigenschaften homogener Flächen
Das empfangene Signal unterliegt als Zufallsgröße statistischen Schwankungen, die sich durch eine
Verteilungsfunktion und deren Momente beschreiben lassen. Im Folgenden wird die Verteilung für das
gängige Rayleigh-Echo-Modell (Ulaby und Dobson, 1989) hergeleitet.
Durch die Annahmen des Rayleigh-Echo-Modells, das von einer großen Anzahl von zufällig verteilten
Streuelementen innerhalb einer Auflösungszelle ausgeht, kann für alle voneinander unabhängigen
Teilsignale der zentrale Grenzwertsatz angenommen werden. Er besagt, dass die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen
voneinander unabhängiger Teilsignale normalverteilt sind, wenn jedes Teilsignal als
Summe einer großen Anzahl voneinander unabhängiger Summanden aufgefasst werden kann, von denen
jeder zur Summe nur einen unbedeutenden Beitrag liefert. Dementsprechend folgen der Real- und
Imaginärteil des Empfangssignals u,
Im
ui = Re {u} = Acos φ und
uq = Im {u} = Asin φ,
der Normalverteilung. Für sie ergeben sich mit Mittelwert gleich null und Varianz σ 2 u
lichkeitsdichten
fui (u) = fuq(u) =
σu
1
√ e
2π
u q
u2
(−
2σ2 u
A
(b)
u i
Re
(2.19)
die Wahrschein-
) . (2.20)
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte von Real- und Imaginärteil ist durch eine zirkulare Gauß-
Verteilung gegeben
fuiuq(ui,uq) = fui (ui) · fuq(uq) = 1
2πσ2 e
u
(− u2 i +u2q 2σ2 )
u . (2.21)