PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

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Kapitel 5
Ähnlichkeits- und Distanzmaße
Wie wir im vorangegangenen Kapitel gesehen haben, benötigt jedes Clusterverfahren ein Maß, um die
Ähnlichkeit zwischen einzelnen Elementen des betrachteten Objektraums, zwischen Gruppen von Elementen
(Clustern) oder zwischen Elementen und Clustern bestimmen zu können. Ein solches Maß ist nicht trivial, da im
allgemeinen in Datenbanken mehr nicht-numerische Daten als numerische gespeichert sind. Lassen sich die nichtnumerischen
Daten eindeutig auf Zahlen abbilden, kann das Clustering-Problem auf einen n−dimensionalen
Vektorraum abgebildet werden, in dem dann eine klassische Metrik aus der Mathematik zur Messung der Distanz
oder Ähnlichkeit verwendet werden kann. Der Vergleich zwischen Clustern lässt sich aber meistens nur
durch zusätzliche Bedingungen geeignet definieren. Zuerst werden wir in diesem Kapitel auf die möglichen verschiedenen
Arten (Skalen) von Daten eingehen und dann die Definition von Ähnlichkeits- und Distanzmaßen
erläutern. Bei der folgenden Aufzählung von Maßen erheben wir natürlich keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
Es soll einzig gezeigt werden, wie vielfältig das Problem des Vergleichs von Objekten ist und immer im Kontext
zu einem Modell definiert werden muss.
5.1 Skalentypen
Im allgemeinen sind die Merkmale eines zu gruppierenden Datensatzes von unterschiedlicher Art, d.h. die Merkmale
besitzen nicht den gleichen Skalentyp (Abb. 5.1). Skalentypen lassen sich in quantitative und qualitative
Typen einteilen.
Die quantitativen Typen entsprechen den Zahlen oder Typen, die sich eindeutig auf eine Zahlenmenge abbilden
lassen. Mit quantitativen Daten kann man somit rechnen (+,-,*,/), sie lassen sich anordnen/vergleichen und
vermessen“, da die Zahlenmengen metrische Räume sind. Die quantitativen Daten lassen sich in diskrete und
”
in kontinuierliche Typenunterteilen.DiediskretenTypenlassensichaufdieMengedernatürlichen Zahlen
abbilden. Die kontinuierlichen Typen lassen sich dagegen nur auf Teilmengen der reellen Zahlen abbilden. Die
Anzahl von Besuchern einer Veranstaltung sind ein Beispiel für einen diskreten Skalentyp. Die Fläche von
Grundstücken, gemessen in m 2 , ist dagegen ein Beispiel für einen kontinuierlichen Skalentyp.
Qualitative Daten sind alle Arten von Daten mit denen man nicht rechnen kann. Im günstigsten Fall lassen
sich qualitative Daten in eindeutiger Weise anordnen, wie die sogenannten ordinalen Datentypen (z.B.
die Körpergröße mit der Wertemenge {klein, mittel, groß}). Die qualitativen Daten lassen sich in die schon
erwähnten ordinalen Typen und in die sogenannten nominalen und binären Typen einteilen. Mit nominal bezeichnet
man mehrkategoriale Daten, wie z.B. die Haarfarbe mit der Wertemenge {schwarz, rot, braun, blond},
d.h. man kann diesen Merkmalen verbale Ausprägungen zuordnen und diese auf Gleichheit überprüfen, jedoch
kann man weder mit ihnen rechnen noch lassen sie sich in eindeutiger Weise anordnen. Binäre Skalentypen 1 kann
man als Sonderfall der nominalen Skalentypen auffassen, da sich ebenfalls für die Merkmale nur die Gleichheit
überprüfen lässt. Zusätzlich besteht bei binären Skalentypen die Wertemenge aus nur zwei Elementen, wie z.B.
{ja,nein}, {gut, schlecht} oder {männlich,weiblich}.
1 Binäre Skalentypen werden auch als dichotome Variablen bezeichnet.