PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

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Kapitel 6
Nachbarschaftsgraphen
Im vorherigen Kapitel sind wir auf das grundlegende Problem der Definition von Ähnlichkeit zwischen Objekten
aus beliebigen Mengen eingegangen und haben dabei die gleichwertige Interpretation von Nachbarschaft
und relativer Ähnlichkeit beschrieben. Da wir im weiteren raumbezogene Daten gruppieren wollen, stellt sich
nun die Frage nach einer geeigneten Definition für Nachbarschaft. Man kann die sogenannte 4er- oder 8er-
Nachbarschaft aus der Rasterdatenverarbeitung verwenden, in dem man ein Zellraster so bestimmt, dass maximal
ein Objekt in jeder Zelle enthalten ist (Abb. 6.1 a)). Eine andere Möglichkeit der Definition von Nachbarschaft
kann durch Vorgabe eines festen Abstands erfolgen, wie in Abbildung 6.1 b) dargestellt oder man
verwendet das sogenannte Voronoi-Diagramm (Abb. 6.1 c)) zur Definition der Nachbarschaft. Wir werden im
folgenden zur Definition von Nachbarschaft die sogenannten Nachbarschaftsgraphen verwenden. Abbildung 6.1
d) zeigt die Delaunay-Triangulation einer Punktmenge, die der bekannteste Typ von Nachbarschaftsgraph neben
dem Nächster-Nachbar-Graph ist und der duale Graph des Voronoi-Diagramms ist. Nachbarschaftsgraphen
stellen in dem von uns entwickelten parameterfreien Clusterverfahren, das in Kapitel 7 genau beschrieben wird,
das Fundament zur Definition von Ähnlichkeit dar und sollen deshalb im folgenden genauer beschrieben werden.
P 1
P 1
P 2
P 1
P 2
P 5
P 5
P 5
a) b) c)
P 4
d)
P 1
P 2
P 3
P 5
P 4
Abbildung 6.1: Verschiedene Arten der Nachbarschaft (adaptiert nach (Estivill-Castro & Lee 2002)): a) Raster,
b) fester Abstand, c) Voronoi-Diagramm, d) Delaunay-Triangulation.
6.1 Graphen
Da Nachbarschaftsgraphen eine spezielle Teilmenge der Menge aller Graphen sind, wollen wir zuerst auf die
wesentlichen Begriffe aus der Graphentheorie eingehen. Diese Arbeit entstand aufgrund von Problemen in der
Automatisierung von Aufgaben in Geo-Informationssystemen und der Kartographie, deshalb ist es interessant
anzumerken, dass bei der Entwicklung der Graphentheorie, die noch ein relativ junges Gebiet der Mathematik
darstellt, das 4-Farben Problem 1 eine wesentliche Rolle spielte. Heutzutage findet die Graphentheorie ein breites
1 Kann jede ebene Landkarte stets mit höchstens 4 Farben so eingefärbt werden, dass keine zwei angrenzenden Länder die gleiche
Farbe haben? Diese Frage stellte Frederick Guthrie 1852 August de Morgan und es dauerte 124 Jahre, diese Frage mit Ja zu
beantworten.