PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

6.1. GRAPHEN 59
(a)
Kette
(b) Stern (c) Sternkette
(d) 2-Spinne
(e) 4-Baum
Abbildung 6.7: Verschiedene Klassen von Bäumen
einerseits von der Effizienz der durchzuführenden Operationen und andererseits vom benötigten Speicherplatz
ab. Zeit und Speicherplatz lassen sich in den meisten Fällen jedoch nicht gleichzeitig optimieren, da eine effiziente
Laufzeit zu Lasten des Speicherplatzes geht. Ebenfalls ist zu berücksichtigen, ob es sich um eine dynamische oder
statische Anwendung handelt. Im Falle einer dynamischen Anwendung wird der Graph durch den Algorithmus
verändert und das effiziente Einfügen und Entfernen von Ecken und Kanten stellt ein wichtiges Kriterium dar.
Inzidenzmatrix
Die Inzidenzmatrix sei hier nur zur Vollständigkeit erwähnt. Sie wird jedoch in der Praxis aufgrund ihres hohen
Speicherplatzbedarfs nicht verwendet. Die Inzidenzmatrix speichert direkt die Inzidenzbeziehung zwischen den
Ecken und den Kanten eines Graphen und da ein vollständiger Graph mit n Ecken ohne Schleifen n(n−1) und mit
Schleifen n 2 Kanten besitzt, ist der Speicherbedarf einer Inzidenzmatrix Θ(|G| 3 ). Im Falle eines unbewerteten
Graphen G erhalten wir so eine Boole’sche Matrix I G =(i ek ), mit e ∈ [1, |G|] (Eckenindex) und k ∈ [1, |G| 2 ]
(Kantenindex), wobei gilt
{
1, falls e mit k inzidiert
i ek =
0, sonst
In der Praxis wird anstatt der Inzidenzmatrix die sogenannte Adjazenzmatrix verwendet. Jedoch lassen sich
Inzidenz- und Adjazenzmatrix durch einfache Matrizenmultiplikation ineinander überführen (Bill & Fritsch
1991).
Adjazenzmatrix
Ein Graph G =(E,K) kannineiner|E| ×|E| Matrix A G =(a ij ) gespeichert werden, welche die Adjazenzbeziehungen
der Ecken von G enthält und somit auch implizit die Inzidenzbeziehungen der Ecken und Kanten
und benötigt dabei weniger Speicher als die Inzidenzmatrix. Die Indizes i und j stehen dabei jeweils für eine
Ecke aus G, indem wir die Ecken von G von 1 bis |E| (oder 0 bis |E| −1) durchnummerieren. Im Falle eines
ungerichteten Graphen ist A G symmetrisch. Handelt es sich um einen unbewerteten Graphen G, soistA G eine
Boole’sche Matrix, d.h.
{
1, falls ij ∈ K(G)
a ij =
0, sonst
Ist der Graph G dagegen bewertet, dann ist
{
wij , falls ij ∈ K(G)
a ij =
0, sonst
Da die Werte eines bewerteten Graphen nicht Zahlen sein müssen, wird der Wert 0 in diesem Zusammenhang
dazu verwendet, um eine nicht vorhandene Kante darzustellen.
Eine Adjazenzmatrix A G hat die folgenden Eigenschaften: