PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

7.4. MEDIANBASIERTE ÄHNLICHKEITSRELATION ZWEIER CLUSTER 77
Definition 7.3.3 (Cluster-Varianz)
Den Schätzwert für die Varianz der zu erwartenden Kantenlänge eines Cluster X definieren wir wie folgt:
V(X) =MAD(X) =Median({|δ(k i,j ) − D(X)| |k i,j ∈ E(X)}) .
Definition 7.3.4 (Cluster-Toleranz)
Das Toleranzintervall für die Dichte eines Clusters X ergibt sich aus den Definitionen 7.3.2 und 7.3.3 wie folgt:
T(X) =[Min(X), Max(X)]
mit Min(X) =D(X) − V(X) und Max(X) =D(X)+V(X) .
Falls Min(X) < 0 setzen wir Min(X) =0, da keine negativen Abstände (Dichten) existieren können.
Diese Modellierung der Cluster-Dichte und Cluster-Varianz ermöglicht uns eine einheitliche Schätzung der Clusterdichte
für reguläre und nicht reguläre Cluster. Was uns jetzt noch fehlt, ist die Definition des Abstandes
zweier benachbarter Cluster X und Y . Diese definieren wir analog zur Cluster-Dichte und Cluster-Varianz auf
der Schnittmenge der äußeren Kantenmengen von X und Y .
Definition 7.3.5 (Cluster-Abstand)
Der Abstand zwischen zwei Clustern X und Y wird durch folgendes Intervall definiert:
∆(X, Y) =[MD(X, Y) − VD(X, Y), MD(X, Y)+VD(X, Y)]
mit MD(X, Y) =Median(d i,j | k i,j ∈ X ∗ ∩ Y ∗ )
und VD(X, Y) =Median({|δ(k i,j ) − MD(X, Y)| |k i,j ∈ X ∗ ∩ Y ∗ }) .
Falls MD(X, Y) − VD(X, Y) < 0 setzen wir MD(X, Y) − VD(X, Y) =0, da keine negativen Abstände
existieren können.
7.4 Medianbasierte Ähnlichkeitsrelation zweier Cluster
Aufbauend auf den Definitionen der Cluster-Dichte, Cluster-Varianz und des Cluster-Abstands können wir nun
einfache parameterfreie Vergleichskriterien definieren. Als erstes definieren wir eine Bedingung, die notwendig
ist, um Cluster gleicher Dichte voneinander zu trennen, die zu weit entfernt voneinander sind.
Definition 7.4.1 (Abstands-Kompatibilität)
Zwei Cluster X und Y werden als verträglich (kompatibel) bezüglich ihres Abstands betrachtet, wenn folgende
Bedingung erfüllt ist:
∆(X, Y) ⊆ T(X) und ∆(X, Y) ⊆ T(Y) .
Als zweites definieren wir eine Bedingung zum robusten Testen zweier Clusterdichten auf Ähnlichkeit (Quasi-
Gleichheit).
Definition 7.4.2 (Intra-Dichte-Kompatibilität)
Zwei Cluster X und Y werden als verträglich (kompatibel) bezüglich ihrer Dichte betrachtet, wenn folgende
Bedingung erfüllt ist:
D(X) ⊆ T(Y) und D(Y) ⊆ T(X) .