PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

7.8. VERALLGEMEINERUNG AUF QUALITATIVE DATEN 83
(a) Delaunay-Triangulation
der Flächenzentroide
(b) Delaunay-Triangulation
einer Punktmenge abgeleitet
aus a)
(c) Constrained-Delaunay-
Triangulation
der
Flächenpolygone
Abbildung 7.6: Delaunay-Triangulation polygonförmiger Objekte
7.8 Verallgemeinerung auf qualitative Daten
Mit rein qualitativen Daten kann man, wie in Kapitel 5 beschrieben, nicht rechnen“, d.h. man kann nicht aus
”
gegebenen Werten einen neuen Wert ableiten. Angenommen, wir haben die fünf Objekte A, B, C, D und E und
die dazu gehörige 5 × 5-Distanzmatrix (Tabelle 7.1) gegeben, dann können wir sofort den NNG (6.2.5) und den
MST (6.2.7) bestimmen und auf diesen Graphen unser Clusterverfahren anwenden. Mit Hilfe der Gleichungen
6.5 und 6.7 kann man auch den RNG und den GG bestimmen, da beide Gleichungen eine nicht geometrische
Interpretation erlauben, die allein auf den Werten der Distanzmatrix aufbaut. Abbildung 7.7 zeigt die aus
Tabelle 7.1 abgeleiteten Nachbarschaftsgraphen.
Wie jedoch bestimmt man für diese fünf Objekte das für die Delaunay-Triangulation benötigte Umkreiskriterium?
Im Falle eines zweidimensionalen Vektorraums ist z.B. für drei Punkte a, b und c die Gleichung 7.10 zu
prüfen, um festzustellen, ob ein Punkt d innerhalb oder außerhalb des Umkreises von a, b und c liegt (analog zu
Gleichung 7.10 lässt sich für jede Dimension n eine entsprechende (n + 1)-dimensionale Determinante angeben).
Eine solche Determinante existiert jedoch nicht in unserem qualitativen Fall. Selbst wenn wir die Dimension
des Problems kennen würden, so könnten wir trotzdem nicht eine dementsprechende n-dimensionale Sphäre
bestimmen. Was wäre denn der Mittelpunkt dieser Sphäre bzgl. A, B, C, D und E? Im rein qualitativen Fall
ist es nicht einmal möglich, einen Mittelwert zu bestimmen. Es ist jedoch im Falle ordinaler Daten möglich, den
Median anzugeben. Im Falle von Mengen mit gerader Anzahl von Elementen müsste man sich aber für den oberen
oder unteren Median entscheiden, da der Pseudomedian wie der Mittelwert nicht bestimmbar ist. Im qualitativen
Falle sind somit nur solche Cluster-Verfahren anwendbar, die keine Cluster-Repräsentanten (Medoid) benötigen
oder diesen durch Auswahl“ aus den Clusterelementen bestimmen und ihn nicht berechnen“.
” ”
∣
a x a y a 2 x + a 2 y 1
b x b y b 2 x + b2 y 1
c x c y c 2 x + c 2 y 1
d x d y d 2 x + d2 y 1
∣
=
∣
a x − d x a y − d y (a 2 x − d2 x )+(a2 y − d2 y )
b x − d x b y − d y (b 2 x − d2 x )+(b2 y − d2 y )
c x − d x c y − d y (c 2 x − d 2 x)+(c 2 y − d 2 y)
∣
⎧
⎨
⎩
> 0, d innerhalb
=0, d Rand
< 0, d außerhalb
(7.10)
Unser Clusterverfahren kann also auch auf rein qualitative Daten angewendet werden, wenn man auf die
Delaunay-Triangulation verzichtet und für die Berechnung des RNG und GG eine Zeitkomplexität von O(n 3 )
in Kauf nimmt. Da man bei rein qualitativen Daten nur auf der Distanzmatrix (Ähnlichkeitsmatrix) arbeiten
kann, müssen für alle n 2 /2 Distanzwerte, der gegebenen Distanzmatrix, n Vergleiche durchgeführt werden.