PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

6.4. KOMPLEXITÄT 69
6.4 Komplexität
Nachbarschaftsgraphen können höchstens n 2 Kanten besitzen. In diesem Fall würde es sich um einen
vollständigen Graphen handeln. Θ(n 2 ) ist deshalb die kleinste obere Schranke für den Speicherplatzbedarf für
alle Nachbarschaftsgraphen bzgl. jeder beliebigen Metrik und Dimension. Die Delaunay-Triangulation ist der
Obergraph der anderen von uns verwendeten Graphen (NNG, MST, RNG, GG) und für jede beliebige feste Dimension
d ist Θ(n ⌈d/2⌉ ) die kleinste obere Schranke für den Zeitbedarf zur Berechnung der Delaunay-Triangulation
und deshalb kann man auch die Untergraphen mit dieser Schranke nach oben abschätzen. Da immer drei Objekte
bei der Berechnung des RNG und des GG miteinander verglichen werden müssen, ergibt sich für diese Graphen
sofort ein trivialer Algorithmus mit einem Zeitbedarf von O(n 3 ). Dies gilt für jede beliebige Metrik und für
jede beliebige Dimension. Bei der Berechnung des NNG und des MST müssen dagegen immer nur 2 Objekte
miteinander verglichen werden und somit ergibt sich eine obere Schranke von O(n 2 ). Es existieren jedoch für
unterschiedliche Metriken und Dimensionen bessere Schranken, von denen einige in den Tabellen 6.1 und 6.2
aufgelistet sind.
Graph Dimension Metrik Anzahl der Kanten
NNG ≥ 2 L p O(n)
k-NNG ≥ 2 L p O(n)
L
MST 2
p , 1