PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

6.1. GRAPHEN 57
Brückenkante
Endkante
(a)
(b)
Abbildung 6.4: Beispiel für einen Baum und ein Gerüst
Definition 6.1.10 (Baum und Gerüst)
Unter einem Baum (Abb.6.4) versteht man einen zusammenhängenden Graphen ohne Kreise. Ein Baum B
zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus:
1. |K(B)| = |E(B)|−1
2. B ist einfach zusammenhängend.
3. Verbindet man zwei nicht adjazente Ecken von B, soentstehteinGraphB ′ der genau einen Kreis enthält.
Eine solche Verbindung nennt man auch Sehne.
Ist ein zusammenhängender Graph G kein Baum, so kann man durch Entfernen geeigneter Kanten einen Baum
mit der selben Eckenmenge erzeugen. Einen solchen Baum nennt man ein Gerüst von G. Eskönnen im allgemeinen
mehrere Gerüste konstruiert werden, die nicht notwendig isomorph sind, jedoch die gleiche Anzahl von
Kanten besitzen.
Einen azyklischen und nicht zusammenhängenden Graphen nennt man auch Wald.
6.1.2 Spezielle Typen von Graphen
Endliche Graphen: Ein Graph mit endlicher Eckenmenge heißt endlich. Ein endlicher Graph kann eine unendliche
Kantenmenge besitzen.
Unendliche Graphen: Ein Graph mit unendlicher Eckenmenge heißt unendlich. Ein unendlicher Graph kann
eine endliche Kantenmenge besitzen.
Graphen ohne Schlingen und Zweiecke: Verbindet jede Kante zwei unterschiedliche Ecken heißt der
Graph schlingenlos. Werden je zwei Ecken durch höchstens eine Kante verbunden heißt der Graph zweiecklos,
siehe Abbildung 6.5a. Es ist natürlich genauso möglich, sogenannte Multigraphen zu definieren, die
bis zu r Kanten zwischen zwei Ecken besitzen können.
Vollständige Graphen: Besitzt ein Graph keine Schleifen und sind alle Ecken paarweise durch genau eine
Kante miteinander verbunden, nennt man den Graphen vollständig. Einen vollständigen Graphen auf n
Ecken bezeichnen wir mit K n , siehe Abbildung 6.5b.
Planare (plättbare) Graphen: EininderEbeneohneÜberschneidungen von Kanten darstellbarer Graph
heißt plättbar oder eben (Abb. 6.6a, b).
Bipartite Graphen: Lässt sich die Eckenmenge eines Graphen in zwei disjunkte Teilmengen aufteilen, so dass
jede Ecke der einen Menge mit mindestens einer Ecke der anderen Menge verbunden ist und gleichzeitig
keine Kante existiert, die zwei Ecken der gleichen Teilmenge miteinander verbindet, dann heißt der Graph
bipartit (Abb. 6.6d).