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5.3. DISTANZ 43
Definition 5.3.2 (Metrik)
Sei d : M × M → R + 0 eine Distanzfunktion (5.3.1) und gilt für x, y, z ∈ M zusätzlich die Dreiecksungleichung
dann nennt man d eine Metrik.
(D3) d(x, y) ≤ d(x, z)+d(z,y),
Manche Clusterverfahren verzichten jedoch auf die Erfüllung der Dreiecksungleichung (Zahn 1996). Deshalb
unterscheiden wir hier zwischen Distanzfunktionen und Metriken. Im strengen Sinne wird auch die Implikation
D1 von vielen Clusterverfahren nicht erfüllt, da zur Berechnung der Distanz im allgemeinen nicht alle Elemente
eines Clusters herangezogen werden.
Korollar 1 (Summe von Metriken)
Seien n Metriken d 1 ,...,d n gegeben dann ist die Summe d 1n (x, y) := ∑ n
i=1 d i(x, y) auch eine Metrik.
Der Beweis, dass die Summe von Metriken ebenfalls die Metrikaxiome (D1-3) erfüllt, ist trivial. Die Summe
positiver Werte ist positiv und somit ist d : M × M → R + 0 erfüllt. Die Summe positiver Werte kann nur dann 0
sein, wenn alle Summanden gleich 0 sind, das ist der Fall für x = y und damit ist (D1) erfüllt. (D2) ist erfüllt,
da die einzelnen Metriken kommutativ sind und somit auch die Summe kommutativ ist. (D3) ist erfüllt, da gilt:
d 1n (x, y) =
n∑
d i (x, y) ≤
i=1
n∑
(d i (x, z)+d i (z,y)) =
i=1
n∑
d i (x, z)+
i=1
n∑
d i (z,y) =d 1n (x, z)+d 1n (z,y).
Die Verwendung von Distanzfunktionen oder Ähnlichkeitsfunktionen in Clusterverfahren ist grundsätzlich
äquivalent, da Ähnlichkeit durch Distanz und Distanz durch Ähnlichkeit durch folgende Transformationsregeln
ausgedrückt werden können.
Definition 5.3.3 (Transformationsregeln zwischen Ähnlichkeits- und Distanzmaß)
Sei s : M ×M → [0, 1] eine Ähnlichkeitsfunktion (5.2.1) und d : M ×M → R + 0 eine Distanzfunktion (5.3.1), dann
kann für zwei Elemente x, y ∈ M das Ähnlichkeitsmaß aus ihrem Distanzmaß und umgekehrt ihr Distanzmaß
aus ihrem Ähnlichkeitsmaß durch die folgenden Formeln bestimmt werden:
i=1
d(x, y) := 1− s(x, y) mit d(x, y) ∈ [0, 1]
d(x, y) :=
1
mit d(x, y) ∈ [0, ∞)
s(x, y)
s(x, y) :=
d(x, y)
1−
mit s(x, y) ∈ [0, 1] oder
(d(x, y))
s(x, y) :=
max
x,y∈M
1
d(x, y)+1
mit s(x, y) ∈ [0, 1)
5.3.1 Quantitative Distanzmaße
L p −Metriken
Liegt ein Merkmalsraum M ⊆ R n vor, so können die Distanzen mit Hilfe der allgemeinen L p −Metriken berechnet
werden, die wie folgt definiert sind:
Definition 5.3.4 (L p −Metrik)
{ √∑ p n
i=1
L p (x, y) =
|x i − y i | p , falls p ∈ [1, ∞)
max {|x i − y i |}, falls p = ∞
i∈[1,n]