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64 KAPITEL 6. NACHBARSCHAFTSGRAPHEN
Definition 6.2.8 (Relativer Nachbarschaftsgraph – RNG)
Sei P eine Menge von n Punkten im R d und δ(p, q) eine beliebige Metrik auf R d , dann bezeichnet man mit
RNG(P) den Relativer Nachbarschaftsgraph der Menge P, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
RNG(P )=G(P, K) mit K = {pq | p, q ∈ P ∧ L 2 (p, q) ∩ P = ∅} (6.4)
Eine äquivalente Definition für die Kantenmenge lautet:
K = {pq | p, q ∈ P ∧
∀ (δ(p, q) ≤ max{δ(p, r),δ(q, r)})} (6.5)
r∈P \{p,q}
Der RNG(P ) (siehe Abb. 6.11 (d) und C.3 (d)) ist ein Obergraph des MST(P ) und deshalb zusammenhängend.
Der RNG(P )lässt sich in gleicher Weise wie der NNG(P )zumk − RNG(P ) verallgemeinern. Weitere Informationen
zum relativen Nachbarschaftsgraph findet man auch in (Toussaint 1980a, Supowit 1983, Agarwal &
Matousek 1992, Jaromczyk & Toussaint 1992, Lingas 1994).
6.2.4 Geographischer Nachbarschaftsgraph
Der Geographische Nachbarschaftsgraph GNG(P) (Yao 1982, Rao 1998, Nakano & Olariu 1997) wird durch
sogenannte Narrow Regions R definiert. Wir geben hier die Definition für den 2-dimensionalen Raum an. Die
Verallgemeinerung auf den n-dimensionalen Raum findet man z.B. in (Yao 1982) und (Rao 1998).
Die Umgebung eines Punktes p ∈ P = R 2 kann, wie in Abbildung 6.10 dargestellt, in acht Regionen (Narrow
Regions) R 1...8 eingeteilt werden, so dass gilt: P =
⋃ R i (p). Der GNG(P) definiert sich dann wie folgt:
1≤i≤8
Definition 6.2.9 (Geographischer Nachbarschaftsgraph – GNG)
Sei P eine Menge von n Punkten im R 2 und δ(p, q) eine beliebige Metrik auf R 2 , dann bezeichnet man mit
GNG(P) den Geographische Nachbarschaftsgraph der Menge P, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
GNG(P )=G(P, K) mit K =
⋃
{pq | p ∈ P ∧ q ∈NN Ri(p)(p)}
1≤i≤8
D.h. in den 8 Regionen werden jeweils die nächsten Nachbarn identifiziert, die dann schließlich den GNG(P )
bilden. Der GNG(P ) ist ein Obergraph des RNG(P ) und kann auch wie dieser zum k − GNG(P ) verallgemeinert
werden.
6.2.5 Gabriel Graph
Der Gabriel Graph wurde durch Gabriel und Sokal (Gabriel & Sokal 1969) zur geographischen Variationsanalyse
eingeführt.
Definition 6.2.10 (Gabriel Graph – GG)
Sei P eine Menge von n Punkten im R d und δ(p, q) eine beliebige Metrik auf R d , dann bezeichnet man mit
GG(P) den Gabriel Graph der Menge P, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
GG(P )=G(P, K) mit K = {pq | p, q ∈ P ∧ L 1 (p, q) ∩ P = ∅} (6.6)
Eine äquivalente Definition für die Kantenmenge lautet:
K = {pq | p, q ∈ P ∧
∀
r∈P \{p,q} (δ(p, q)2 ≤ δ(p, r) 2 + δ(q, r) 2 )} (6.7)