PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

60 KAPITEL 6. NACHBARSCHAFTSGRAPHEN
• Der Speicheraufwand ist Θ(|G| 2 ).
• Der Speicheraufwand ist unabhängig von der Anzahl der Kanten in G. Daraus folgt sofort, dass Adjazenzmatrizen
bzgl. Speicher ungünstig sind, wenn der Graph vergleichsweise wenige Kanten enthält.
• Der Test auf Adjazenz zweier Ecken benötigt O(1) Zeit und ist optimal. Viele Algorithmen erfordern
jedoch eine Initialisierung der Matrix oder die Berücksichtung aller Einträge der Matrix und benötigen
deshalb Ω(|G| 2 ) Rechenschritte. Durch geeignete Zusatzinformationen lässt sich jedoch in vielen Fällen
Abhilfe schaffen, ohne dabei den Speicherbedarf über Θ(|G| 2 )zuerhöhen. Typische Operationen, wie
das Inspizieren aller zu einer gegebenen Ecke inzidenten Kanten sind für Graphen mit wenigen Kanten
ineffizient, genauso wie das Einfügen einer neuen Ecke in einen Graphen mit vielen Ecken.
Inzidenzliste
Die Inzidenzliste oder auch doppelt verkettete Ecken-Kanten-Liste ist wohl die am meisten verwendete Datenstruktur
für Graphen, da sie Θ(|E(G)| + |K(G)|) Speicherplatz benötigt und viele Operationen, wie z.B.
das Traversieren durch einen Graphen, die Suche in einem Baum und insbesondere das Einfügen (O(1)) und
Entfernen (O(n)) von Knoten und Kanten sehr gut unterstützt.
Die Datenstruktur einer Inzidenzliste enthält einerseits eine doppelt verkettete Liste aller Ecken von G und für
jede Ecke einen Verweis auf eine doppelt verkettete Liste mit allen inzidenten Kanten. Jede Kante wiederum
besitzt noch einen Verweis auf ihre Start- und Endecke. Im Englischen wird diese Datenstruktur auch doubly
connected arc list (DCAL) genannt.
6.2 Typen von Nachbarschaftsgraphen
Eine allgemeine Einführung in das Gebiet der Nachbarschaftsgraphen findet man in (Jaromczyk & Toussaint
1992). Nachbarschaftsgraphen werden auch als Proximity Graphs (Toussaint 1991) bezeichnet. Sie finden überall
dort Anwendung, wo Form und Struktur von Punktmengen von Interesse sind, wie z.B. Computer Vision, Mustererkennung
(Zahn 1971), Algorithmische Morphologie (Kirkpatrick & Radke 1985), Kartographie, Geographie
und Biologie. In Nachbarschaftsgraphen werden ähnliche oder benachbarte Punkte mit einer Kante verbunden.
Die vielfältigen Möglichkeiten der Definition von benachbart führen zu mehreren verwandten Graphen von denen
die bekanntesten hier aufgezählt sind:
• Nächster Nachbar Graph,
• K-Nächster Nachbar Graph,
• Minimaler spannender Baum,
• Geographischer Nachbarschaftsgraph,
• Relativer Nachbarschaftsgraph,
• Gabriel Graph,
• β-Skelette,
• Delaunay-Triangulation,
• Urquhart Graph,
• Einflussbereichsgraph,
Bevor wir auf die einzelnen Nachbarschaftsgraphen näher eingehen, führen wir noch die folgenden Schreibweisen
und Bezeichnungen ein: