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80 KAPITEL 7. HIERARCHISCHES NACHBARSCHAFTSGRAPHEN CLUSTERING
Definition 7.4.4 (Varianz-Kompatibilität)
Zwei Cluster X und Y werden als verträglich (kompatibel) bezüglich ihrer Varianz (Homogenität) betrachtet,
wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
V(X ∪ Y) ≤ max {V(X), V(Y)} .
Eine strenge Definition einer optimalen Zerlegung einer Menge in homogene Cluster verlangt auch noch, dass
der Unterschied zwischen den einzelnen Clustern so groß wie möglich wird. Deshalb führen wir als weiteres zum
strengen Ähnlichkeitsvergleich die folgende Definition ein:
Definition 7.4.5 (Inter-Dichte-Kompatibilität)
Zwei Cluster X und Y werden als verträglich (kompatibel) bezüglich ihrer Inter-Dichte (Abstand zu anderen
Clustern) betrachtet, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
D(X ∗ ) ≤ D((X ∪ Y) ∗ ) und D(Y ∗ ) ≤ D((X ∪ Y) ∗ ) .
7.5 HPGCL-Algorithmus
HPGCL steht für Hierarchisches parameterfreies Graph-Clustering. Der HPGCL-Algorithmus besteht aus
zwei Prozeduren. Die erste Prozedur erzeugt die Nachbarschaftsgraphenhierarchie und die zweite Prozedur
führt die Gruppierung (Clustering) der Ecken der Nachbarschaftsgraphenhierarchie durch.
Die Nachbarschaftsgraphenhierarchie wird gemäß Definition 6.12 gebildet. Da die Delaunay Triangulation (DT)
die Gesamtmenge aller Kanten darstellt, wird sie zuerst berechnet oder als gegeben vorausgesetzt. Danach
werden alle Untergraphen in der folgenden Reihenfolge berechnet: Gabriel Graph (GG), Relativer Nachbarschaftsgraph
(RNG), Minimaler spannender Baum (MST) und zuletzt der Nächste-Nachbar-Graph (NNG). Da
sich alle Graphen in linearer Zeit aus ihren Obergraphen bestimmen lassen, besitzt diese Prozedur unseres Algorithmus
die Komplexität der zugehörigen DT (siehe Tabelle 6.2 auf Seite 69). Nachdem die Hierarchie erzeugt
wurde, existiert nun die DT und für jede Kante der DT ist gespeichert, zu welchem Untergraphen sie auch noch
gehört.
Die Erzeugung der Nachbarschaftshierarchie kann als ein Bottom-Up Prozess angesehen werden, da wir mit
der Delaunay-Triangulation beginnen und diese die Grundmenge aller möglichen Nachbarschaftsgraphkanten
darstellt. Die Gruppierung der Knoten erfolgt dagegen in einem Top-Down Prozess vom NNG bis zur DT. Im
folgenden wird nun der Grundalgorithmus unseres Clusterverfahrens und seine iterative Erweiterung beschrieben.
Auf die Berechnung der Nachbarschaftsgraphen gehen wir hier nicht ein und verweisen auf die in Kapitel
6 angegebene Literatur.
7.5.1 Grundalgorithmus
Der Kern unseres HPGCL-Verfahrens kann wie folgt beschrieben werden:
Schritt 1: Zuerst werden die Kanten des NNG als aktiv 3 markiert.DanachwerdenalleEckenderDTalsnicht
reguläre Cluster (Def. 7.2.6) initialisiert und in einer Cluster-Prioritätswarteschlange (CPQ) gespeichert.
Die Cluster-Priorität wird nach folgenden Kriterien bestimmt:
1. Cluster-Varianz: Ein Cluster hat umso größere Priorität, je homogener die Länge seiner inneren
und äußeren Kanten ist (siehe Def. 7.3.3).
2. Cluster-Abstand: Ein Cluster hat umso größere Priorität, je geringer sein äußerer Abstand zu
anderen Clustern ist (siehe Def. 7.3.5).
3 Alle Berechnungen innerhalb des Gruppierungsprozesses (Clusterings) werden nur auf als aktiv markierte Kanten durchgeführt.
Nicht markierte Kanten bleiben unberücksichtigt.