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60 KAPITEL 6. NACHBARSCHAFTSGRAPHEN • Der Speicheraufwand ist Θ(|G| 2 ). • Der Speicheraufwand ist unabhängig von der Anzahl der Kanten in G. Daraus folgt sofort, dass Adjazenzmatrizen bzgl. Speicher ungünstig sind, wenn der Graph vergleichsweise wenige Kanten enthält. • Der Test auf Adjazenz zweier Ecken benötigt O(1) Zeit und ist optimal. Viele Algorithmen erfordern jedoch eine Initialisierung der Matrix oder die Berücksichtung aller Einträge der Matrix und benötigen deshalb Ω(|G| 2 ) Rechenschritte. Durch geeignete Zusatzinformationen lässt sich jedoch in vielen Fällen Abhilfe schaffen, ohne dabei den Speicherbedarf über Θ(|G| 2 )zuerhöhen. Typische Operationen, wie das Inspizieren aller zu einer gegebenen Ecke inzidenten Kanten sind für Graphen mit wenigen Kanten ineffizient, genauso wie das Einfügen einer neuen Ecke in einen Graphen mit vielen Ecken. Inzidenzliste Die Inzidenzliste oder auch doppelt verkettete Ecken-Kanten-Liste ist wohl die am meisten verwendete Datenstruktur für Graphen, da sie Θ(|E(G)| + |K(G)|) Speicherplatz benötigt und viele Operationen, wie z.B. das Traversieren durch einen Graphen, die Suche in einem Baum und insbesondere das Einfügen (O(1)) und Entfernen (O(n)) von Knoten und Kanten sehr gut unterstützt. Die Datenstruktur einer Inzidenzliste enthält einerseits eine doppelt verkettete Liste aller Ecken von G und für jede Ecke einen Verweis auf eine doppelt verkettete Liste mit allen inzidenten Kanten. Jede Kante wiederum besitzt noch einen Verweis auf ihre Start- und Endecke. Im Englischen wird diese Datenstruktur auch doubly connected arc list (DCAL) genannt. 6.2 Typen von Nachbarschaftsgraphen Eine allgemeine Einführung in das Gebiet der Nachbarschaftsgraphen findet man in (Jaromczyk & Toussaint 1992). Nachbarschaftsgraphen werden auch als Proximity Graphs (Toussaint 1991) bezeichnet. Sie finden überall dort Anwendung, wo Form und Struktur von Punktmengen von Interesse sind, wie z.B. Computer Vision, Mustererkennung (Zahn 1971), Algorithmische Morphologie (Kirkpatrick & Radke 1985), Kartographie, Geographie und Biologie. In Nachbarschaftsgraphen werden ähnliche oder benachbarte Punkte mit einer Kante verbunden. Die vielfältigen Möglichkeiten der Definition von benachbart führen zu mehreren verwandten Graphen von denen die bekanntesten hier aufgezählt sind: • Nächster Nachbar Graph, • K-Nächster Nachbar Graph, • Minimaler spannender Baum, • Geographischer Nachbarschaftsgraph, • Relativer Nachbarschaftsgraph, • Gabriel Graph, • β-Skelette, • Delaunay-Triangulation, • Urquhart Graph, • Einflussbereichsgraph, Bevor wir auf die einzelnen Nachbarschaftsgraphen näher eingehen, führen wir noch die folgenden Schreibweisen und Bezeichnungen ein:
6.2. TYPEN VON NACHBARSCHAFTSGRAPHEN 61 x ε x ε x ε (a) Intervall (b) Kreis (c) Kugel Abbildung 6.8: Veranschaulichung der ɛ-Umgebung im R 1 a), R 2 b) und R 3 c). Definition 6.2.1 (ɛ-Umgebung) Sei P eine Menge von n Punkten im R d und δ(p, q) eine beliebige Metrik auf R d , dann bezeichnet U P,δ (p, ɛ) ={q ∈ P | δ(p, q)
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5 Ähnlichkeits- und Distanzmaße 3
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7 Zusammenfassung Die Notwendigkeit
Seite 11 und 12: 9 Kapitel 1 Einleitung 1.1 Motivati
Seite 13 und 14: 1.3. ABGRENZUNG ZU ANDEREN ARBEITEN
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Seite 101 und 102: 8.4. ERGEBNISSE FÜR DIE REALEN TES
Seite 103 und 104: 8.5. LAUFZEITVERHALTEN 101 (a) Modu
Seite 107 und 108: 8.5. LAUFZEITVERHALTEN 105 (a) NNG:
Seite 111 und 112: 109 Kapitel 9 Diskussion und Ausbli
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9.2. AUSBLICK 111 • Neben der exp
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Literaturverzeichnis Agarwal, P. &
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LITERATURVERZEICHNIS 115 Goodman, J
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LITERATURVERZEICHNIS 117 Rao, S. (1
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119 Anhang A Manuelle Auswertungen
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121 (a) Auswertung 5 (b) Auswertung
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123 (a) Auswertung 3 (b) Auswertung
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125 Anhang B Testmessungen Die hier
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127 Tabelle B.1 - Fortsetzung von v
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129 Anhang C Nachbarschaftsgraphen
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131 (a) 4-Nächster-Nachbar-Graph (
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133 Anhang D Auswertung Vaihingen (
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135 (a) GG (b) NNG-GG (c) DT (d) NN
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137 Dank Die vorliegende Arbeit ent
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139 Lebenslauf Name Anschrift Gebur
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