PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

54 KAPITEL 6. NACHBARSCHAFTSGRAPHEN
Anwendungsfeld. Beispielhaft seien genannt: Informatik (Compilerbau, Betriebssysteme, Computernetzwerke,
Künstliche Intelligenz), Chemie, Physik und die Anwendungsgebiete des Operations Research. 2 Zur allgemeinen
Einführung in die Graphentheorie und für weiterführende Literatur verweisen wir z.B. auf (Diestel 2000, Aigner
1984, Hein 1977, Kaufmann 1971, Sedlacek 1971, Reinhardt & Soeder 1984).
4
4
4
1 3 5 6
1 3 5 6
1
E
B
A
B
3
C
G
F
A
5
D
6
2
(a) ungerichtet
2
(b) gerichtet
2
(c) bewertet
Abbildung 6.2: Graphen
6.1.1 Definitionen von Graphen
Definition 6.1.1 (Graph)
Das Tripel G := (E, K, I) heißt Graph mit den disjunkten Mengen E(G) (Eckenmenge) und K(G)
(Kantenmenge) 3 und der Abbildung I zur Beschreibung der Inzidenzbeziehungen von Ecken und Kanten 4 .
Die Inzidenzbeziehungen lassen sich durch geordnete Paare darstellen. Seien x und y zwei Ecken und k die
Kante mit der x und y inzidieren (x und y sind durch k miteinander verbunden), dann können wir der Kante
k das Tupel (x, y) oder (y, x) zuordnen und nennen x und y die Endecken von k. Anstelle von (x, y) schreibt
manauchkurzxy.
Man nennt einen Graphen ungerichtet (Abb. 6.2a)), wenn keine der beiden Endecken einer Kante besonders
ausgezeichnet sind, d.h. es gilt die Äquivalenzrelation Ä : xy = yx. DieMengeE × E \ Ä besteht dann aus
Klassen der Form [[xx]] = {xx} oder [[xy]] = {xy, yx}, falls x ≠ y ist. Es gilt also I : K → E × E \ Ä.
Wird eine Ecke einer Kante als Startecke ausgezeichnet, nennt man den Graphen gerichtet (Abb. 6.2b)) und
die Äquivalenzrelation Ä : xy = yx entfällt. Es gilt dann I : K → E × E. JedeKantexy ∈ G besitzt dann die
Richtung von x nach y. Ein gerichteter Graph wird auch als Digraph bezeichnet.
Zwei Ecken x, y von G sind benachbart oder adjazent und heißen Nachbarn voneinander, wenn xy ∈ K(G) gilt.
Zwei Kanten k ≠ l heißen benachbart, wenn sie eine gemeinsame Endecke besitzen. Paarweise nicht benachbarte
Kanten und Ecken von G heißen auch unabhängig.
Definition 6.1.2 (Komplementärer Graph)
Das Komplement G eines Graphen G ist der Graph auf E(G), in dem zwei Ecken genau dann benachbart sind,
wenn sie es nicht in G sind. Formal geschrieben:
G := (E, K) mit K =(E × E) \ K
2 Operations Research ist ein auf praktische Anwendung mathematischer Methoden ausgerichteter Wissenszweig und befasst sich
mit der Problemanalyse und Vorbereitung optimaler Entscheidungen in Organisationen. Operations Research ist geprägt durch die
Zusammenarbeit von Mathematik, Wirtschaftswissenschaften und Informatik, siehe auch http://www.gor-ev.de/.
3 Es sei angemerkt, dass in der internationalen Literatur die Schreibweise G =(V, E) verwendet wird. E steht dabei für Edge Set
und V für Vertex Set.
4 Die Inzidenzabbildung wird im allgemeinen als implizit gegeben angenommen und die kurze Schreibweise G =(E,K) bevorzugt.