PDF-Download - Deutsche Geodätische Kommission

6.2. TYPEN VON NACHBARSCHAFTSGRAPHEN 65
R3
R2
R4
R1
R5
R8
R6
R7
Abbildung 6.10: Narrow Regions eines Punktes p (Zentrum in der Abb.) im R 2 mit seinen jeweiligen nächsten
Nachbarn.
Der GG(P )istwiederRNG(P ) zusammenhängend und kann auch wie dieser zum k − GG(P ) verallgemeinert
werden. Zwei Beispiele für den Gabriel Graphen zeigen die Abbildungen 6.11 (e) und C.4 (a).
6.2.6 β−Skelette
Kirkpatrick & Radke (1985) führte eine Klasse von Graphen ein, indem er das Prinzip der β −Linse (Def. 6.2.4)
einführte, die eine Verallgemeinerung der Bedingung des RNG darstellt. β − Skelette eignen sich zur Analyse
der inneren Struktur von Punktmengen.
Definition 6.2.11 (β−Skelette – S β )
Sei P eine Menge von n Punkten im R d und δ(p, q) eine beliebige Metrik auf R d , dann bezeichnet man mit
S β (P) das β−Skelett der Menge P, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
S β (P )=G(P, K) mit K = {pq | p, q ∈ P ∧ L β (p, q) ∩ P = ∅} (6.8)
Eine ausführliche Beschreibung dieser Graphen und ihrer effizienten Berechnung, sowie die Erweiterung auf
sogenannte kβ − Skelette findet man in (Rao 1998).
6.2.7 Delaunay-Triangulation
Die Delaunay-Triangulation (Preparata & Shamos 1988) wird traditionell als dualer Graph des Voronoi Diagramms
((Lee 1980)) definiert. (O’Rourke 1982) zeigte jedoch, dass für die L 1 und die L ∞ Norm der duale
Graph des Voronoi Diagramms nicht notwendigerweise ein Obergraph des RNG ist und schlug die folgende
Definition vor, die direkt auf der Menge der Punkte aufbaut.
Definition 6.2.12 (Delaunay-Triangulation – DT)
DT(P )=G(P, K) mit K = {pq | p, q ∈ P ∧
∃ (p, q ∈ ∂U(x, r) ∧ U(x, r) ∩ P = ∅)} (6.9)
x∈R d ,r∈R +
Diese Definition ist äquivalent zur traditionellen Definition im R 2 für alle L p Normen, für die gilt 1