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Abbildung 13
Geometrie des hängenden Tropfens
Z
z
P
0
s
Φ
x
X
Im hydromechanischen Gleichgewicht gilt die Beziehung
∆ p − ∆p
= z ⋅ ∆p
⋅ g
(4.2.14)
apex
P
Mit den Hauptkrümmungen k (Kehrwert der Hauptkrümmungsradien r) und der Gleichung
(4.2.13) erhält man:
apex
( k k )
∆p = σ ⋅ +
(4.2.15)
p
apex, 1 apex,2
( k k )
∆p = σ ⋅ +
(4.2.16)
p, 1 p,2
Die Hauptkrümmungen am Scheitelpunkt sind aufgrund der Axialsymetrie des Tropfens in
allen Richtungen gleich (k apex ). Aus der Differentialgeometrie kennt man die analytischen
Ausdrücke für die Krümmungen der Hauptnormalenschnitte am Punkt P (x,z):
−3 / 2
2
2
dΦ
⎛ d z ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎛ ⎞
, 1
1 ⎟
2
⋅ dz
k p
= =
⎜ ⎟ +
⎜ ⎟
(4.2.17)
ds ⎝ dx ⎠
⎝ ⎝ dx ⎠ ⎠
−1/
2
2
sin Φ ⎛ dz ⎞ 1 ⎛ ⎞
⎜ ⎛ dz ⎞
k p , 2
= = ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ 1+
⎟
⎜ ⎟
(4.2.18)
x ⎝ dx ⎠ x
⎝ ⎝ dx ⎠ ⎠