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Aus den Gleichungen (4.2.13) bis (4.2.17) ergibt sich:
dΦ
ds
= 2 ⋅ k
apex
z ⋅ ∆p
⋅ g
−
σ
sin Φ
−
x
(4.2.19)
Gleichung (4.2.20) beschreibt das Profil eines hängenden Tropfens im hydromechanischen
Gleichgewicht. Zur Lösung der Gleichung wird sie in eine dimensionslose Form überführt.
Dazu dienen folgende Definitionen:
x
X = ;
a
z
Z = ;
a
s
S = ;
a
B
F
=
1
a ⋅ k
apex
; mit:
a =
σ
∆p
⋅ g
(4.2.20)
Mit diesen Definitionen kann Gleichung (4.2.19) nach Substitution folgendermaßen
beschrieben werden:
dΦ
ds
=
2
B
F
sin Φ dX dZ
− Z − ; = cos Φ ; = sin Φ
X dS dS
(4.2.21)
Am Scheitelpunkt gelten die Randbedingungen X = Z = S = Φ = 0. Daraus ergibt sich:
sin Φ
=
X
1
B F
(4.2.22)
B F ist der einzige Parameter, der die Form des Tropfenprofils bestimmt. Er wird deshalb
Formparameter genannt. Weiterhin ergibt sich, daß die Grenzflächenspannung σ bei
bekannter Dichtedifferenz ∆ρ berechnet werden kann, wenn das relative Größenverhältnis a
eines gemessenen Tropfens zum entsprechenden theoretischen Tropfenprofil bestimmt wird.
Gleichung (4.2.21) wird zusammen mit den Randbedingungen aus Gleichung (4.2.22) als die
Fundamentalgleichung eines hängenden Tropfens bezeichnet.
Durch Variation des Formparameters B F können nach einem numerischen
Integrationsverfahren theoretische Tropfenprofile berechnet werden. Wenn das theoretische
Tropfenprofil gerade dem gemessenen Tropfenprofil entspricht, kann die
Grenzflächenspannung berechnet werden. Das Problem der Bestimmung der
Grenzflächenspannung besteht also darin, das richtige theoretische Tropfenprofil des
gemessenen Tropfens exakt und schnell zu erfassen.