Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

96 4. Materialverhalten polykristalliner Formgedächtnismaterialien
Um die experimentellen Daten mit dem vom mikromechanischen Modell vorhergesagten
Materialverhalten vergleichen zu können, sind zunächst zwei vereinfachende Annahmen
notwendig:
1. Es wird davon ausgegangen, dass der Elastizitätstensor für alle Varianten und Orientierungen
identisch ist: C j i = C ∀ i, j. Diese Annahme erfordert zusätzlich Isotropie
von C.
2. Weiterhin wird angenommen, dass die Transformation ausschließlich im Spannungsplateau
stattfindet, was sowohl von experimentellen Vorhersagen als auch von Berechnungen
wie in den oben gezeigten im Wesentlichen bestätigt wird.
Durch diese Annahmen vereinfacht sich die zur Volumenanteilsevolution konjugierte Triebkraft
nach Gl. (4.17) auf
⎡
⎤
q j i = ξ j ⎣η j i : C :(ε − η eff ) −α
} {{ } i
⎦ . (4.33)
σ=konst.
Da der effektive Elastizitätstensor aufgrund der ersten Annahme nicht von den Volumenanteilen
abhängt, entfällt hierbei der zweite Summand in Gl. (4.17). Bei dem Ausdruck
C :(ε − η eff ) handelt es sich um die Plateauspannung σ, welche nach der zweiten Annahme
konstant ist.
Die Vortextur ξ (R) wurde im Rahmen der Experimente ermittelt und kann daher als Eingangsinformation
für den Vergleich verwendet werden. Des Weiteren ist die Elementarzellengeometrie
des kubischen Austenits (a 0 = 3.008582 · 10 −10 m) sowie des monoklinen
Martensits (a =4.585065 · 10 −10 m, b =2.880011 · 10 −10 m und c =4.129873 · 10 −10 m,
sowie γ =95.9939 ◦ ) für den verwendeten Werkstoff bekannt.
Nach Gleichung 4.28 verläuft die Volumenanteilsevolution näherungsweise proportional zur
Triebkraft q. Die qualitative Orientierungsdichteverteilung kann daher nach folgender Gleichung
abgeschätzt werden:
c j =max { 0, k 1
(
ξ
(
R
j ) − k 2
)(
η j : σ − k 3
)}
, (4.34)
wobei die Unterscheidung zwischen den unterschiedlichen Martensitvarianten hier aufgrund
der angenommenen Isotropie (erste Annahme) durch die verschiedenen Orientierungen als
berücksichtigt angenommen werden kann. Die in Gleichung (4.34) eingeführten Parameter
bedeuten hierbei:
• k 1 ist ein Proportionalitätsfaktor. Dieser bleibt für den hier angestrebten qualitativen
Vergleich der Orientierungsverteilung unbestimmt.
• k 2 ist ein Parameter, mit dem das Rauschen aus den experimentellen Untersuchungen
in der Ursprungsverteilung „abgeschnitten“ wird.
• k 3 quantifiziert die energetische Barriere, die aufgrund unterschiedlicher chemischer
Energien sowie dissipativer Effekte bei der Transformation von Austenit zu Martensit
überwunden werden muss.