Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

34 3. Elastische Energie monokristalliner Formgedächtnismaterialien
• d K = ∑ K
J=0 d Jθ J / ∑ K
J=0 d J ist ein Vektor, der die normierte Summe der Austenit- und
aller Martensitzwillingsanteile bis zum Kten Zwilling enthält.
• Entsprechend wird für die Austenitvariante θ 0 =(1, 0,...,0) T und d 0 = c 0 gesetzt.
Weitere obere Grenzen nach Gl. (3.25) entstehen durch Permutation der Reihenfolge, in der
diese berechnet werden. Insgesamt ergeben sich dadurch für jede einzelne der 955 möglichen
Zwillingspaarungen für kubisch-monoklin transformierendes Materialverhalten 720,
im allgemeinen leicht unterschiedliche, Werte der oberen Grenze.
Der Beweis der Laminatgrenze zweiter Ordnung erfolgt erneut durch umgekehrte vollständige
Induktion, indem zunächst der letzte Zwilling abgespalten wird:
ψ mix (c) =ψ mix ((d 0 + d 1 + ···+ d m−1 ) d m−1 + d m θ m ) , (3.26)
was mit Gl. (3.16) zu
ψ mix (c) ≤ (d 0 + d 1 + ···+ d M−1 ) ψ mix (d M−1 )+d M ψ mix (θ M ) (3.27)
+(d 0 + d 1 + ···+ d M−1 ) d M φ (d M−1 − θ M )
umgeformt werden kann.
= (d 0 + d 1 + ···+ d M−1 ) ψ mix (d M−1 )
+d M ψ mix (θ M i 2M−1 +(1− θ M ) i 2M )
+(d 0 + d 1 + ···+ d M−1 ) d M φ (d M−1 − θ M )
≤ (d 0 + d 1 + ···+ d M−1 ) ψ mix (d M−1 )
+d M
[θ M ψ mix (i 2M−1 ) +(1− θ
} {{ }
M ) ψ mix (i 2M )
} {{ }
=0
=0
]
+θ M (1 − θ M ) φ (i 2M−1 − i 2M )
+(d 0 + d 1 + ···+ d M−1 ) d M φ (d M−1 − θ M )
= (d 0 + d 1 + ···+ d M−1 ) ψ mix (d M−1 )
+d M θ M (1 − θ M ) φ (i 2M−1 − i 2M )
Es werde nun angenommen, dass
+ (d 0 + d 1 + ···+ d M−1 ) d M
φ (d M−1 − θ M )
d 0 + d 1 + ···+ d } {{ M}
=1
ψ mix (c) ≤ (d 0 + ···+ d J−1 ) ψ mix (d J−1 ) (3.28)
M∑
+ d K θ K (1 − θ K ) φ (i 2K−1 − i 2K )
+
K=J
M∑
K=J
(d 0 + d 1 + ···+ d K−1 ) d K
d 0 + d 1 + ···+ d K
φ (d K−1 − θ K )