Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

38 3. Elastische Energie monokristalliner Formgedächtnismaterialien
Ψmix Jmm³
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
0.175
c 1 ⩵1, 0, 0, 0, 0, 0, 0;c 2 ⩵0,
1
6 , 1
6 , 1
6 , 1
6 , 1
6 , 1
6
Ψ ⋆ lam
Ψ lam
Ψ Reuß
Λ⩵0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1Λ c 1 Λc 2
Abbildung 3.5.: Vergleich der Mischenergie-Grenzen für feste Volumenfraktionen.
Kubisch-orthorhombisch transformierendes Material.
Pfad von reinem Austenit zu gleichmäßiger Mischung aller Martensite.
varianten. Hier beträgt die maximale Abweichung zwischen ψ Reuß und ψ lam , die in Abb.
3.6 und 3.7 jeweils auch vergrößert dargestellt ist, nur noch 0,8 bzw. 1,2 Promill, während
die Laminatgrenze erster Ordnung eine bis zu 200fach höhere Abweichung von der Reuß-
Grenze aufweist als die zweiter Ordnung.
In der Berechnung von ψ ∗ lam wurde die Anzahl der ausgewerteten Permutationen der Grenze
auf 1000 zufällig ausgewählte beschränkt. Die Bestimmung der Energiewerte aller 13! =
6, 2·10 9 ist mit heutigen Computern zum Einen kaum zu bewältigen und hätte zum Anderen,
wie Testrechnung mit einer wesentlich höheren Anzahl von Zufallspermutationen gezeigt
haben, die Grenze nicht wesentlich verbessert.
Auch die Berechnung der Laminatgrenze zweiter Ordnung ist zunächst numerisch zu aufwändig
zur Erstellung der hier abgebildeten Plots, da die Anzahl der Funktionsaufrufe von
φ nach Gl. 3.17 zu hoch ist: für jede der 955 Möglichkeiten, die zwölf Martensitvarianten
in kompatible Zwillinge nach Gl. 3.24 und Tab. 3.3 einzusortieren, sind 720 Permutationen
der Zwillingsreihenfolge zu beachten, wie zuvor bereits erläutert. Nach der Definition
der Laminatgrenze zweiter Ordnung, Gl. 3.25, sind zur Energiedichteauswertung für jede
dieser Permutationen zwölf φ-Aufrufe notwendig. Dies würde zu einer Gesamtanzahl von
8,2 Millionen Berechnungen der Funktion φ führen, was vom numerischen Aufwand her zu
aufwändig wäre.
Um die Rechenzeit für die verzwillingte Laminatgrenze zu verringern, wurden daher für die
hier dargestellten Rechnungen alle benötigten Aufrufe der Funktion φ, die oft in verschiedenen
Permutationen der Grenze mehrfach auftreten, im Voraus berechnet und gespeichert.
Hierdurch ließ sich die Anzahl der Funktionsaufrufe auf 21.504, und somit um den Faktor
380, verringern.