Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

3.3. Vollständige Relaxierung und energieminimierende Volumenanteile 43
Startvektornetzes braucht die Mischenergie dann nur einmalig pro Satz von Materialdaten
berechnet und gespeichert werden. Um die Energiedichte nach der Laminatgrenze zweiter
Ordnung zu erhalten, muss dann für eine gegebene Dehnung nach Gl. (3.6) an den Startpunkten
zur gespeicherten Mischenergie lediglich der in direkter Form vorliegende dehnungsabhängige
Term ∑ n
i=0 [c iΨ(ε, i i )] hinzuaddiert werden.
Für die Beispielrechnungen im folgenden Abschnitt wurde ein Netz von Startvektoren, die
nur aus Vielfachen von 0,1 bestehen, gewählt. Als Startwerte wurden also alle möglichen
Kombinationen von Phasenanteilen in 10%-Schritten berechnet, was für sieben-variantes
kubisch zu orthorhombisch transformierendes Material auf eine Anzahl von 8008 Startvektoren
führt. Für diejenigen vier nicht benachbarten Vektoren mit den niedrigsten zugehörigen
Energiewerten wurde das Abstiegsverfahren durchgeführt.
Unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen ist folgender Ausdruck zu minimieren:
( )
n∑
n∑
QΨ lam (ε, c)+β 1 − c i − γ i c i → min . (3.37)
i=0
i=0
Hierbei ist β ein Lagrange-Parameter, der die Massenerhaltung gewährleistet, während der
Kuhn-Tucker-Parameter
{
=0 wenn i ∈A in
γ i (3.38)
≥ 0 sonst
die Nichtnegativität der Volumenanteile sicherstellt. Dabei wurde die anfängliche aktive
Menge A in = {i| c i > 0} eingeführt. Hier bezieht sich aktiv nicht, wie in der mathematischen
Literatur üblich, auf aktive Nebenbedingungen, sondern auf aktive Varianten, also
solche mit echt positiven Volumenanteilen.
Durch Ableitung nach den Volumenanteilen c i ergibt sich die notwendige Bedingung für die
Existenz eines Extremums
q i − β − γ i =0. (3.39)
Der Gradient q = ∂QΨ lam /∂c der Mischenergie bezüglich der Phasenanteile steht aufgrund
der Komplexität von Gl. (3.25) nicht in analytischer Form zur Verfügung. Daher finden stattdessen
numerisch berechnete Differenzenquotienten Anwendung, für deren Bestimmung lediglich
die energieoptimale Permutation von ψ lam bzw. QΨ lam herangezogen wird. So wird
zum Einen der Berechnungsaufwand erheblich verringert, zum Anderen würde die Betrachtung
unterschiedlicher Permutationen die Qualität der numerischen Ergebnisse verringern.
Letzteres liegt darin begründet, dass die hier verwendeten Laminatgrenzen für geringfügige
Änderungen der Volumenanteile zwischen verschiedenen Permutationen hin- und herspringen
können, was zu einer geringfügigen Welligkeit der Ergebnisse führt, welche wiederum
die Zuverlässigkeit numerisch bestimmter Differenzenquotienten negativ beeinflusst.
Daher werden die numerischen Gradienten wie folgt formuliert:
q i = ∂QΨ lam (ε, c)
(3.40)
∂c i
≈
1 [
]
QΨ lam (ε, c + ɛ i i )|
ɛ
perm min QΨ(ε, c)
− QΨ lam (ε, c)
für kleine ɛ.