Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

3.3. Vollständige Relaxierung und energieminimierende Volumenanteile 55
weiter betrachtet.
Die energetische Äquivalenz der leicht voneinander abweichenden energieoptimierenden
Volumenfraktionen für die Reuß- und die Laminatgrenze zweiter Ordnung zeigt Abb. 3.17.
Offensichtlich fallen beide Grenzen nahezu aufeinander. Die Energiedichten für beide Grenzen
für diejenigen Volumenanteile, die die jeweils andere Grenze minimieren, ergeben ebenfalls
nahezu identische Graphen. Daher kann auf die entsprechende Darstellung hier verzichtet
werden.
Freie Helmholtzenergie Nm mm 3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
ε⩵Ξ
0.25 0.5 0
0.5 0.25 0
0 0 1
Reuß
Laminat 2. Ordnung
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
Lastfaktor Ξ
Abbildung 3.17.: Energiedichte nach Reuß- / Laminatgrenze, kombinierte Last.
Die Spannungs-Dehnungsbeziehung für diesen Lastpfad ist in Abb. 3.18 gezeigt. Diese
ist für beide Abschätzungen wiederum recht ähnlich und weist im Transformationsbereich
leichte Oszillationen auf.
Neben der Ähnlichkeit von Reuß- und Laminatgrenze lässt sich in Abb. 3.18 noch eine
weitere Beobachtung machen: im Bereich von ungefähr 2,8 bis 4,2 % Lastaufbringung fällt
die Spannung nach beiden Grenzen ab. Insbesondere im Falle der Reuß-Grenze scheint dies
auf die Verletzung der in Anhang A erläuterten Konvexitätsbedingung (A.7) hinzudeuten,
obwohl es sich bei dieser Grenze um eine konvexe Relaxierung handeln sollte.
Dieser scheinbare Widerspruch löst sich auf, wenn man statt der maximalen Komponente
des Spannungstensors, also für diesen Lastfall σ 33 , den Energiegradienten in Richtung des
Lastpfades plottet, wie in Abb. 3.19 dargestellt.
Um das Zustandekommen eines teilweisen Rückgangs der Spannung bei fortschreitender
Dehnung näher zu erläutern, werde hier zusätzlich eine von zwei Parametern abhängige