Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

3.1. Abschätzung der Mischenergie durch obere und untere Grenzen 25
vereinfacht werden. Hierbei steht der zweite Summand, der lediglich von den Volumenfraktionen,
aber nicht von der äußeren Last abhängt, für:
⎧
⎨∫
ψ mix (c) = inf
⎩
Ω
∇ s ϕ : C :
(
1
2 ∇s ϕ −
∫
ϕ ∈ Wper 1,2 (Ω) , χ (y) ∈Ppure n+1 ,
)
n∑
χ i η i dy
i=0 ∣
⎫
⎬
χ (y) dy = c
⎭ . (3.7)
Ω
Dieser Energieterm wird üblicher Weise als Mischenergie bezeichnet. Aufgrund der komplizierten
Nebenbedingungen ist keine explizite Form dieser Gleichung bekannt. Lediglich
für das so genannte “two-well problem” (n =2), gelöst von Kohn (1991) und - unabhängig
davon - Pipkin (1991), sowie für Sonderfälle von dreivarianten Materialien, Smyshlyaev and
Willis (1998b), konnten bislang analytische Ausdrücke gefunden werden.
3.1. Abschätzung der Mischenergie durch obere und untere Grenzen
Um dennoch eine möglichst genaue Abschätzung der Energiedichte phasentransformierender
Materialien zu erhalten, wird die Mischenergie mittels verschiedener Grenzen von oben
und unten angenähert. Im Folgenden werden solche Grenzen vorgestellt.
3.1.1. Untere Reuß-Grenze
Die grundlegende Annahme zur Formulierung der Reuß-Grenze ist, dass die Spannung innerhalb
des RVE konstant ist. Die gleiche Grenze lässt sich, wie in Govindjee et al. (2003)
dargestellt, auch durch eine “Aufweichung” der Nebenbedingungen in Gl. (3.7) herleiten.
Zur Vereinfachung der Formulierung werden die Verschiebungsfluktuationen ϕ und das
Vektorfeld χ in komplexe Fourierreihen entwickelt:
ϕ (y) = ∑ ϕ ξ e iξ·y , χ (y) = ∑ χ ξ e iξ·y mit Γ=(2πZ) d , ϕ 0 = 0, χ 0 = c. (3.8)
ξ∈Γ
ξ∈Γ
Das Symbol i steht hierbei für die imaginäre Einheit i = √ −1. Da jede stückweise stetige
und monotone Funktion durch eine Fourier-Reihe beliebig genau angenähert werden kann,
stellt diese Darstellung keine Einschränkung des Modells dar.
Damit ergibt sich für die Mischenergie der Ausdruck
⎧
⎨∑
1
)
)
ψ mix (c) = inf
(iξ ⊗ s ϕ
⎩ 2 ξ : C :
(iξ ⊗ s ϕ ξ
ξ∈Γ
( )∣ }
( ) n∑ ) ∣∣∣∣
−Re iξ ⊗ s ϕ ξ : C :
(χ ξ η i cons , (3.9)
i=0
i