Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

36 3. Elastische Energie monokristalliner Formgedächtnismaterialien
gewählt werden.
Die Taylor-Grenze entspricht der Annahme, dass an jedem Punkt, und somit auch für jede
Variante, innerhalb einer Mikrostruktur der gleiche Dehnungszustand herrscht.
3.1.6. Unrelaxierte Energie als obere Grenze
Wird nicht gezielt die Mischenergie, sondern die gesamte Energiedichte betrachtet, kann
auch die unrelaxierte Energie nach Gl. (3.1) als einfache obere Grenze für die quasikonvexe
Hülle betrachtet werden.
Hierdurch wird im Folgenden auch deutlich werden, um welchen Anteil phasentransformierende
Materialien wie Formgedächtnislegierungen ihre Gesamtenergie durch Ausbildung
einer Mikrostruktur senken können.
Der Unterschied zwischen der unrelaxierten Energie als obere Grenze und der Taylor-Grenze
besteht darin, dass letztere auch andere Volumenfraktionen als null oder eins zulässt. Für
eine vollständige Relaxierung entfällt dieser Unterschied, da, wie man trivialer Weise sieht,
die Taylor-Grenze stets von reinen Varianten minimiert wird.
3.2. Vergleich der Grenzen für feste Volumenfraktionen
Durch den direkten Vergleich von oberen und unteren Grenzen kann zum Einen die tatsächliche
quasikonvexifizierte Energiedichte eingegrenzt werden. Zum Anderen lassen sich
hierdurch Rückschlüsse auf die Qualität der verschiedenen Grenzen als Abschätzungen ziehen.
Die oben betrachteten Grenzen unterscheiden sich, mit Ausnahme der unrelaxierten Energie,
lediglich in der Mischenergie. Für einen ersten Vergleich muss daher auch nur dieser
nicht lastabhängige Energieanteil herangezogen werden, der zunächst für vorgegebene Volumenanteilspfade
verglichen werden soll.
Ein dementsprechender Vergleich ist in Abb. 3.4 - 3.7 zu finden. Hierbei spiegeln Abb. 3.4
und 3.5 das Modellverhalten für kubisch-orthorhombisch und Abb. 3.6 und 3.7 kubischmonoklin
transformierendes Material wieder. Die hier verwendeten sieben-varianten Materialdaten
gehen auf Sedlák et al. (2005) zurück und sind in Anhang B.2 dargestellt, die
13-varianten wurden von Otsuka et al. (1974) gemessen und sind in B.3 aufgeführt.
In Abb. 3.4 wurde recht willkürlich ein Pfad von reinem Austenit zu einer gleichmäßigen
Mischung aller Martensite vorgegeben. In Abb. 3.5 hingegen wurde der Pfad so gewählt,
dass er weit von denjenigen Bereichen entfernt ist, für die die Exaktheit der Reuß-Grenze
bekannt ist, siehe S. 26. Zu diesem Zweck wurden der Start- und der Endvektor so gewählt,
dass Det η c Start
und Det η c End
möglichst unterschiedlich sind, wodurch die Bedingung (3.12)
für die Exaktheit der Reuß-Grenze nicht erfüllt ist.