Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien
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2. Grundlagen<br />
2.1. Linear elastische isotherme Kontinuumsmechanik<br />
Die Beschreibung <strong>von</strong> dreidimensionalen Problemen erfordert eine vollständig dreidimensionale<br />
Formulierung des Materialverhaltens. Das übliche Werkzeug hierfür ist die Kontinuumsmechanik,<br />
die in diesem Kapitel kurz eingeführt werden soll. Hierbei werden sich die<br />
Betrachtungen auf die in dieser Arbeit benötigten Aspekte beschränken. Insbesondere der<br />
Einfluss großer (finiter) Verformungen sowie thermische Aspekte werden aus Gründen der<br />
Kompaktheit eingespart. Der weitergehend interessierte Leser sei auf Standardwerke der<br />
Kontinuumsmechanik wie Altenbach and Altenbach (1994), Truesdell (1985) und Gurtin<br />
(1981) verwiesen.<br />
Unter einem Kontinuum versteht man im Allgemeinen eine Menge <strong>von</strong> Materiepunkten.<br />
Ein zusammenhängendes und begrenztes Kontinuum wird als Körper bezeichnet. Hierbei<br />
ist mit zusammenhängend gemeint, dass jeder einzelne Materiepunkt mit jedem anderen<br />
durch eine Linie, die nicht unbedingt gerade sein muss, verbunden werden kann, wobei alle<br />
Punkte dieser Linie selbst auf dem Körper liegen. Ein Körper kann also durchaus auch<br />
Bereiche einschließen, die nicht zu diesem Körper gehören. Die Begrenzung eines Körpers<br />
muss wiederum nicht endlich sein, womit auch unendlich große Körper als Grenzfall betrachtet<br />
werden können.<br />
2.1.1. Kinematik<br />
Die Kinematik beschreibt die geometrischen Aspekte der Lageveränderung <strong>von</strong> Materiepunkten<br />
eines Körpers. Dabei werden zunächst noch keine Aussagen darüber gemacht, welche<br />
Ursachen welche Lageveränderungen im Körper hervorrufen.<br />
Für jeden in der Kontinuumsmechanik betrachteten Körper wird zunächst (mindestens) ein<br />
Referenzzustand definiert. Die Wahl des Referenzzustandes ist grundsätzlich zu jedem Zeitpunkt<br />
willkürlich; allerdings ist es für die meisten Problemstellungen üblich, einen unbelasteten<br />
Zustand als festen Referenzzustand zu wählen. Die Koordinaten eines jeden Punktes<br />
P auf dem Körper im Referenzzustand werden durch den Vektor<br />
⎛<br />
X P = ⎝<br />
⎞<br />
X 1P<br />
X 2P<br />
⎠ (2.1)<br />
X 3P<br />
repräsentiert. Hierbei liege ein kartesisches, also gradliniges und rechtwinkliges, Koordinatensystem<br />
zugrunde. Zur Verkürzung der Schreibweise wird ein jeder Punkt im Folgenden<br />
mit seinen Koordinaten X in der Referenzkonfiguration bezeichnet.
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