Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

3.1. Abschätzung der Mischenergie durch obere und untere Grenzen 31
Abbildung 3.2.: Skizze allgemeines Laminat zweiter Ordnung.
Abbildung 3.3.: Skizze Laminat zweiter Ordnung, bestehend aus Austenit und Martensitzwillingen.
jedoch auch mit einer wesentlichen Erhöhung des numerischen Aufwands einherging.
Die im Folgenden hergeleitete Laminatgrenze zweiter Ordnung wurde erstmalig in Heinen
et al. (2006) präsentiert und in Govindjee et al. (2007) ausführlicher erläutert.
Eine Vielzahl experimenteller Untersuchungen weisen andere Anordnungen von speziellen
Laminaten auf: als Mikrostruktur bilden sich hier so genannte martensitische Zwillinge aus.
In dieser Anordnung finden sich genau zwei Martensitvarianten in eng wechselnder Abfolge
in der höchsten Laminatordnung, wie in Abb. 3.3 dargestellt.
Die Paarungen der Varianten, die für eine derartige Zwillingsbildung in Betracht zu ziehen
sind, wird in Ball and James (1987) im allgemeinen Fall und in Bhattacharya (2003) für
kleine Verformungen diskutiert. Hierbei wird insbesondere berücksichtigt, dass es bei zwei
Varianten, die spannungsfreie Grenzflächen bilden können, stets mindestens eine Grenzebene
geben muss, die durch beide Transformationsdehnungen gleich verzerrt wird. Die Transformationsdehnungen
η i und η j müssen dementsprechend folgende Gleichung erfüllen:
η i − η j = 1 (n ⊗ a + a ⊗ n) , (3.24)
2
wobei a ein Skalierungsvektor und n ein Normalenvektor auf die Grenzebene ist.
Die Existenz einer Lösung dieser Gleichung kann durch folgende Berechnung überprüft