Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

2.1. Linear elastische isotherme Kontinuumsmechanik 11
Hierbei ist C der so genannte Elastizitätstensor, ein Tensor vierter Stufe, der im dreidimensionalen
Raum 3 4 =81Komponenten aufweist.
Der Gradient der Energie nach der Dehnung ist die so genannte Ingenieursspannung 5
σ = ∂Ψ(ε)
∂ε . (2.20)
Im Falle der Energiefunktion nach Gl. (2.19) ergibt sich somit
σ = ∂ ( 1
ε : C : ε)
2
= C : ε. (2.21)
∂ε
Wie Standardwerken der Kontinuumsmechanik zu entnehmen ist, muss für die Spannung
im Inneren des Körpers das (statische) Kräftegleichgewicht
∇·σ = −p (2.22)
gelten, wobei p die Volumenkraftdichte bezeichnet. Diese kann zum Beispiel durch Gravitations-
oder Magnetfelder erzeugt werden. Derartige Einflüsse können für die folgenden
Herleitungen vernachlässigt werden, weswegen die Volumenkraftdichte im weiteren Verlauf
dieser Arbeit zu null gesetzt wird.
Da die Komponenten des Elastizitätstensors C das Materialverhalten ähnlicher Werkstoffe
voneinander unterscheidet, können diese auch als Materialparameter bezeichnet werden.
Die Anzahl unabhängiger Materialparameter hängt wiederum von der Symmetrie des Materialverhaltens
ab:
• Im Allgemeinen Fall können zunächst alle 81 Parameter unabhängig sein.
• Durch Einführung des Boltzmann-Axioms, welches besagt, dass im Kontinuum keine
Elementarmomente auftreten, ergibt sich die Symmetrie des Materialtensors. Da
nach Gl. (2.17) auch der geometrisch lineare Dehnungstensor symmetrisch sein muss,
ergeben sich folgende Symmetrien des Materialtensors:
C ijkl = C jikl = C ijlk = C klij (2.23)
Somit bleiben 21 unabhängige Materialparameter.
Berücksichtigt man zusätzlich, dass sich bei einer Rotation von Spannungs-, Dehnungs-
und Materialtensor durch einen beliebigen Rotationstensor das Materialverhalten
nicht ändern darf, ergeben sich drei zusätzliche Abhängigkeiten und somit 18
verbleibende Kennwerte.
• Weist das Materialverhalten eine Symmetrieebene auf, verringert sich die Anzahl der
unabhängigen Parameter um sechs auf 12. Man spricht in diesem Falle von monotropem
Materialverhalten.
Hierbei ergibt die Einführung der Symmetrie zunächst acht neue Abhängigkeiten der
Kennwerte, wobei aber auch zwei der drei oben aus der Rotationsunabhängigkeit der
Materialgleichung abgeleiteten Beziehungen identisch erfüllt werden.
5 Wie zuvor für Dehnungsmaße gezeigt, lassen sich auch für Spannungsmaße eine Vielzahl verschiedener
Formulierungen herleiten. Da im Rahmen dieser Arbeit lediglich die Ingenieursspannung Verwendung
findet, wird darauf hier jedoch verzichtet.