Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

2.1. Linear elastische isotherme Kontinuumsmechanik 7
In der Festkörpermechanik geht es meist darum, welche Veränderungen welcher Teil eines
Körpers unter bestimmten äußeren Einflüssen erfährt. Zu diesem Zweck ist es sinnvoller,
die Eigenschaften in Abhängigkeit des jeweils beobachteten Materiepunktes
Ξ = Ξ (X) (2.4)
zu formulieren. Diese Darstellung, Lagrange’sche Betrachtungsweise genannt, wird im Folgenden
ausschließlich verwendet.
Die Lageänderung eines Punktes von der unverformten in die verformte Konfiguration wird
als Verschiebung
u (X) =x (X) − X (2.5)
bezeichnet. Die Abhängigkeit vom betrachteten Punkt X wird im Folgenden zur Vereinfachung
der Notation nicht mehr ausgeschrieben. Die einfachste Form einer Verschiebung ist
die nach Betrag und Richtung gleiche Verschiebung aller Punkte eines Körpers, auch Translation
genannt. Bei einer reinen Translation ändert sich lediglich die Lage eines Körpers
im Raum, während die Lage einzelner Punkte relativ zueinander gleich bleibt. Ein weiterer
Spezialfall einer Verschiebung ist die reine Rotation
u =(X − X 0 ) × ω. (2.6)
Hierbei wird der gesamte Körper bezüglich einer Achse der Richtung ω/ |ω|, die durch den
Punkt X 0 verläuft, um den Betrag |ω| gedreht. Dabei ändert sich zwar die relative Lage
zweier Punkte im Körper zueinander, nicht aber ihr Abstand voneinander. Die Verschiebungsarten
Translation und Rotation werden als Starrkörperbewegungen bezeichnet, da sich
hierbei lediglich die Lage eines Körpers ändert, während dieser in sich starr bleibt.
In der Festkörpermechanik und damit auch der Materialmodellierung ist nicht die durch
Starrkörperbewegungen zu beschreibende Lageveränderung, sondern die relative Verschiebung
der Materiepunkte eines Körpers zueinander von Interesse. Daher werden als Maß für
die Gestaltänderung der Deformationsgradiententensor F sowie der Verschiebungsgradiententensor
H wie folgt definiert:
F = ∂x
∂X = ∇ Xx =
∂ (u + X)
∂X
= ∂u + I = H + I. (2.7)
∂X
Wie aus Gl. (2.7) ersichtlich ist, können F und H durch Addition bzw. Subtraktion des
Einheitstensors ineinander überführt werden. Es ist daher ausreichend, im Folgenden ausschließlich
den Deformationsgradiententensor als Verformungsmaß zu betrachten.
Bezeichnen dL und dl differentielle Linien-, dA und da differentielle Flächen- und dV und
dv differentielle Volumenelemente in der unverformten bzw. verformten Konfiguration, so
lässt sich zeigen, dass diese Größen wie folgt miteinander korreliert sind:
dl = F · dL , (2.8)
da = (det F) F −T · dA und (2.9)
dv = (det F) dV . (2.10)
Die differentiellen Flächenelemente sind hierbei durch ihre Flächennormalen dA/ |dA| und
ihren Flächeninhalt |dA| charakterisiert. Der Deformationsgradiententensor ist also ausreichend,
um die Transformation von Linien-, Flächen- und Volumenelementen vollständig zu