Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

3.3. Vollständige Relaxierung und energieminimierende Volumenanteile 47
bevorsteht, kommt es am ehesten zu einer verformungsinduzierten Umwandlung von Austenit
zu Martensit.
Als numerische Beispiele wird im Folgenden die mikrostrukturelle Entwicklung für reine
Scherung, ebene Normaldehnung und kombinierte Last betrachtet.
In Abb. 3.9 ist die Evolution der Volumenanteile des Austenit- und der verschiedenen Martensitanteile
für reine Scherung dargestellt. Hierbei wird von einem Experiment bei Martensitstarttemperatur
ausgegangen, für welche die chemischen Energien von Austenit und
Martensit gleich groß sind. Die von den verschiedenen Grenzen vorhergesagten Volumenanteile
sind, wie den Diagrammen zu entnehmen ist, sehr ähnlich. Für beide Grenzen ergibt
sich eine zweistufige Transformation: zunächst transformiert der Austenit im Bereich von 0
bis ungefähr 1,2% Last vollständig zu Martensit; im zweiten Schritt findet dann eine Umformung
zwischen den unterschiedlichen Varianten des Martensits statt, bis schließlich bei
ca. 5,7% Last nur noch eine einzige Martensitvariante aktiv ist.
In den von der Laminatgrenze vorhergesagten Volumenanteilen der Martensitvarianten 3
bis 6 zeigen sich Oszillationen von bis zu 4 Prozent. Diese liegen darin begründet, dass
die entsprechenden Varianten für die vorgegebene Last energetisch nahezu äquivalent sind.
Den Volumenanteil einer Variante zugunsten einer anderen zu erhöhen ändert den Wert der
Energiedichte also nicht. Aufgrund der in Kapitel 3.3.2 bereits erläuterten Welligkeit der
Laminatgrenze, die im Wechsel der energieoptimalen Permutationen begründet ist, ist eine
genauere Optimierung dieser Grenze bezüglich der Volumenfraktionen nicht möglich.
Die Berücksichtigung eines Dissipationsansatzes würde die Oszillationen der Volumenanteile
„herausdämpfen“; allerdings ist das Hauptaugenmerk dieses Kapitels der Vergleich der
mathematischen Eigenschaften der verschiedenen Grenzen, die ohne Berücksichtigung dissipativer
Effekte deutlicher zum Vorschein kommen.
Um die Unterschiede in der Energie besonders für niedrige Lastfaktoren aufzuzeigen, ist
in Abb. 3.10 die Quadratwurzel der von beiden Grenzen ermittelten Energiedichten dargestellt.
Zusätzlich ist auch die unrelaxierte Energiedichte in der Graphik verzeichnet, um zu
verdeutlichen, wie viel Energie das Material durch Ausbildung von Mikrostrukturen einspart.
Die Ergebnisse für beide Grenzen der quasikonvexen Energie unterscheiden sich geringfügig
im Bereich kleiner vorgegebener Dehnungen; für Lastfaktoren oberhalb von 1,3% bleibt
die Differenz stets unter 1,5%.
Aus diesem Grund zeigt Abb. 3.11 den Bereich geringer Last in Vergrößerung. In dieser
Graphik ist zusätzlich ein Vergleich der Werte beider Grenzen dargestellt, wenn diese mit
den energieminimierenden Volumenfraktionen der jeweils anderen Abschätzung berechnet
werden.
Vergleicht man die Energiedichte nach der Laminatgrenze und diejenige nach der Reußgrenze
mit den aus der Laminatgrenze berechneten energieminimierenden Volumenanteilen
(also die dicke mit der dünnen gestrichelten Linie), stellt man fest, dass die Reußgrenze den
Wert der Laminatgrenze annähernd bestätigt. Die Minimierung letzterer führt demzufolge in
einen Bereich, in dem die tatsächliche Energie recht genau von oben und unten eingegrenzt
werden kann.