Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

4.3. Numerische Beispiele 73
ergibt. Hiermit lässt sich die Evolutionsgleichung
ċ j i = ρ [
devA jq j ]
ξ j i
(4.28)
A j
formulieren, wobei der Index A j eine Beschränkung des aktiven Deviators auf die aktive
Menge bedeutet. Abschließend wird Gl. (4.28) noch durch die Kuhn-Tucker-Bedingungen
ρ ≥ 0 , Φ ≤ 0 , ρΦ=0 (4.29)
sowie die Konsistenzbedingung
ergänzt.
dev A jq j i ≤ 0 für i /∈ A j (4.30)
Eine ähnliche Vorgehensweise wie die hier erläuterte wurde auch in Mielke (2006) und
Govindjee and Miehe (2001) angewandt.
4.3. Numerische Beispiele
Die Evolutionsgleichung (4.28) kann zusammen mit den Kuhn-Tucker-Bedingungen (4.29)
mittels aus der Plastizität bekannter Algorithmen implementiert werden.
Für die numerische Implementierung des Modells genügt ein einfacher Prädiktor-Korrektor-
Algorithmus, der für ausreichend kleine Schrittweiten ein stabiles numerisches Verhalten
aufweist. Der Korrektor-Schritt kann hierbei mit einem Standard-Newton-Verfahren umgesetzt
werden; aufgrund der hohen Anzahl (n · N) von Unbekannten wurde dabei, trotz des
damit verbundenen schlechten Konvergenzverhaltens für große Schrittweiten, eine Euler-
Forward-Strategie angewandt, da beispielsweise eine Euler-Backward-Implementierung die
Lösung sehr großer Gleichungssysteme erfordern würde.
Für die folgenden Beispiele wurden die von Sedlák et al. (2005) gemessenen elastischen
Konstanten verwendet, welche auch in Anhang B.2 wiedergegeben sind. Von dieser Arbeitsgruppe
wurden sowohl die Materialkonstanten des Austenits als auch die des Martensits in
voller Anisotropie gemessen.
Die Inverse des Elastizitätstensors einer bestimmten Variante und Orientierung C j i ist grundsätzlich
mit der Definition
(
C
j) −1
i pqrs
(
C
j)
i = 1 rstu
2 (δ ptδ qu + δ pu δ qr ) . (4.31)
möglich. Diese Gleichung jedoch für jede Variante jeder Kristallorientierung bei jedem Update
von C eff zu lösen wäre sehr zeitaufwändig. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, für die
numerische Implementierung die Notation nach Mehrabadi and Cowin (1990) zu verwenden.
Ähnlich der bekannten Voigt’schen Notation, Voigt (1966), werden hierbei die elastischen
Konstanten in einer 6 × 6-Matrix C angeordnet. Hierbei kommt folgende Definition