Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

3.4. Vorhersage von Mikrostrukturparametern 59
Die in diesem Kapitel präsentierten numerischen Beispiele haben gezeigt, dass sich die Laminatgrenze
zweiter Ordnung und die Reußgrenze nur geringfügig voneinander unterscheiden.
Insbesondere die von beiden Abschätzungen berechneten Energiedichten sind einander
recht ähnlich.
Betrachtet man die Abweichungen in der Genauigkeit der Materialdaten, so stellt man fest,
dass diese selbst bei aufwändigen experimentellen Untersuchungen wie in Sedlák et al.
(2005) Werte von zwei Prozent und mehr erreichen.
3.4. Vorhersage von Mikrostrukturparametern
Es hat sich gezeigt, dass die von der Laminatgrenze zweiter Ordnung vorhergesagte recht
nah an der tatsächlichen quasikonvexen Energiedichte monokristalliner Formgedächtnismaterialien
liegt. Aufgrund dieser Beobachtung kann davon ausgegangen werden, dass die Mikrostrukturen,
welche die Grenze als Energieminimierer annimmt, der realen Werkstoffstruktur
entsprechen. Diese Anwendungsmöglichkeit der Laminatgrenze zweiter Ordnung
wurde auch in Heinen et al. (2006) näher dargelegt.
In diesem Kapitel soll nun an den zuvor berechneten Beispielen gezeigt werden, welche
Mikrostrukturen von der Laminatgrenze zweiter Ordnung als energieminierend ermittelt
wurden. Hierzu wird zusätzlich zum minimalen Wert der Energiedichte auch die zugehörige
Permutation der Zwillingsvarianten abgespeichert. Die jeweiligen Permutationen werden
durch zwei Ziffern gekennzeichnet. Die erste, welche im Fall der kubisch-orthorhombischen
Materialdaten von eins bis 15 läuft, beschreibt die Einordnung der Martensitvarianten in
Zwillingspaare, wie sie auf Seite 33 bereits eingeführt wurde. Die verschiedenen Möglichkeiten,
die sechs Martensitvarianten paarweise zusammenzufassen bilden die Spalten in Tab.
3.5.
Die zweite Ziffer zur Charakterisierung der Permutationen läuft von eins bis sechs und
beschreibt die Reihenfolge, in der die zuvor festgelegten Zwillinge in der Laminatgrenze
(3.25) berücksichtigt werden. Die verschiedenen Möglichkeiten der Anordnung fester Zwillingspaarungen
bilden die Zeilen in Tab. 3.5.
Die Entwicklung der Mikrostruktur für die zuvor betrachteten Lastpfade ist in Abb. 3.23
bis 3.25 dargestellt. Die Bereiche, in denen sich die energieminimierende Permutation nicht
ändert, sind hierbei durch unterschiedliche Linienschattierungen gekennzeichnet. Hierbei
wurden die oben bereits angesprochenen Oszillationen in den energieminimierenden Permutationen
unterdrückt, indem in den entsprechenden Lastbereichen eine einzelne Permutation
gewählt wurde, mit der auch die umliegenden Punkte berechnet wurden. Da hierdurch
zum Teil die berechneten Volumenanteile nicht exakt zu den Permutationen passen, ergeben
sich um bis zu vier Prozent höhere Werte der Mischenergie. Die jeweils gewählte Permutation
ist in Klammern in den Plots angegeben, wobei in Fällen, in denen alle Permutationen
die gleiche Energiedichte liefern, die Permutation „(0, 0)“ genannt wird.
Die Orientierung der Grenzflächen zwischen Austenit und den Martensitzwillingen geht aus
dem Modell nicht hervor. Für die graphischen Darstellungen wird daher als Grenzflächennormale
n AM =1/ √ 2(1, 1, 1) angenommen. Die Reihenfolge und Zusammenstellung der