Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

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bzw.
Ψ(A) ≤ λΨ(A +(1− λ) B)+(1− λ)Ψ(A − λB)
(A.8)
gilt, heißt ein Potential konvex. Dieser strengste der Konvexitätsbegriffe schließt alle
anderen (und somit auch die Quasikonvexität) ein. Allerdings handelt es sich nicht um
ein notwendiges Kriterium für Quasikonvexität.
• Polykonvexität: Der nächst schwächere Konvexitätsbegriff ist die Polykonvexität,
welche genau dann erfüllt ist, wenn es eine konvexe Funktion f gibt mit:
Ψ(F) =f (F, Cof F, Det F) , wobei Cof F := (Det F) · F −T .
(A.9)
Polykonvexität schließt Quasikonvexität ebenfalls ein und wird daher häufig zum
Nachweis derselben verwendet.
• Rang-1-Konvexität: Eine Funktion heißt Rang-1-konvex, wenn die Konvexitätsbedingung
nach Gleichung (A.7) bzw. (A.8) für alle A und B mit der Nebenbedingung
Rang (A − B) ≤ 1 gilt. Dies entspricht der Überprüfung der Quasikonvexität nur für
Laminate erster Ordnung. Eine alternative Formulierung der Rang-1-Konvexität ist
die Cauchy-Hadamard-Bedingung:
(a ⊗ b) : ∂2 Ψ
:(a ⊗ b) ≥ 0 ∀ F, a, b.
∂F (A.10)
2
Rang-1-Konvexität ist für Quasikonvexität zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Dies
wurde in Šverák (1992) durch folgendes Gegenbeispiel bewiesen:
Ψ(A) =f (A)+ε ‖A‖ 2 + ε ‖A‖ 4 + k ‖A − P : A‖ 2 , (A.11)
wobei f (A) =−A 11 A 22 (A 31 + A 32 )
⎛
⎞
A 11 0
und P : A = ⎝ 0 A 22
⎠
A 31 + A 32 A 31 + A 32
Dieses Potential ist für gewisse k und ε Rang-1-konvex, aber nicht quasikonvex. Es entspricht
allerdings keinem physikalisch realisierbaren Material – allein schon deswegen, weil
es nicht kovariant ist, weil der Wert des Potentials also vom Betrachter abhängt.
Die Suche nach kovarianten Potentialen, die zwar Rang-1-konvex, aber nicht quasikonvex
sind, ist ein Thema noch andauernder Forschung in diesem Gebiet.
In Abb. A.1 sind hier erwähnten Konvexitätsbegriffe nochmals schematisch dargestellt.