Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

72 4. Materialverhalten polykristalliner Formgedächtnismaterialien
Die mathematische Formulierung lässt sich durch Einführung der passiven Mengen
B j = { i ∣ ∣c j i =0 } (4.20)
sowie der aktiven Mengen
A j = { i ∈B j ∣ ∣ċ j i > 0 } ∪ { i /∈ B j} . (4.21)
vereinfachen. Wie in Kapitel 3.3.2 bezieht sich die Bezeichnung aktiv bzw. passiv hier erneut
auf die kristallographischen Varianten und nicht, wie in der Mathematik üblich, auf die
Nebenbedingungen in den Gleichungen. Letztere sind genau dann aktiv (d. h. γ j i > 0), wenn
die zugehörigen Varianten inaktiv sind (c j i =0).
Setzt man nun die Ableitung von Gl. (4.18) nach ċ j i zu null und summiert über die zugehörigen
aktiven Mengen, erhält man den Wert der Lagrange-Parameter
β j = 1
n A j
∑
k∈A j q j k , (4.22)
wobei ∑ n
i=0 ċj i =0bedingt, dass der Dissipationsparameter hier nicht eingeht, und n A j für
die Anzahl der Elemente in der aktiven Menge A j steht. Dieses Ergebnis wird nun zurück
in die Ableitung von (4.18) nach ċ j i eingesetzt, was auf
q j i − 1
n A j
q j i − 1
n A j
∑
q j k
= rξ j ċ j i
√
für i ∈A j (4.23)
k∈A
N∑ n∑
j (ċj ) 2
∑
ξ j
j=1 i=0
i
k∈A j q j k
= −γ j i < 0 für i /∈ A j , (4.24)
führt. Die zweite Gleichung dient als „Schalter“: erfüllt eine Variante Gl. (4.24) nicht mehr,
muss diese zur aktiven Menge A j hinzugefügt werden. Der linke Term in beiden Gleichungen
wird erneut als aktiver Deviator (dev A jq) j i = ∑
qj i − 1 q j n A j k abgekürzt.
k∈A j
Das Minimierungsproblem (4.18) wird nun durch Einführung seiner Legendre-Transformation
J (q) =sup{(dev A q) ċ − ∆| ċ} , (4.25)
umgeformt. So ergibt sich eine Form, die der klassischen Plastizität ähnlich und hier leichter
aufzulösen ist. Die Auswertung von Gl. (4.25) führt auf eine „Fließfunktion“
[ N∑
]
1
n∑ (
Φ(q) =
devA jq j ) 2
ξ j
i − r 2 , (4.26)
j=1 i=0
mit der sich J (q) zu
{ 0 für Φ(q) ≤ 0
J (q) =
∞ sonst
. (4.27)