Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

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A. Mathematische Kriterien für die Existenz von
Energieminima
In diesem Anhang sollen mathematische Konzepte eingeführt und insbesondere der Begriff
der Quasikonvexität näher erläutert werden. Eine ausführlichere Darstellung der hier vorgestellten
Betrachtungen ist beispielsweise in Heinen (2004b) zu finden. Die Quasikonvexität
als stärkste notwendige Bedingung für die Existenz von Energieminima von Potentialen, wie
sie in der Kontinuumsmechanik betrachtet werden, dient in Kap. 3 auch als Ausgangspunkt
für die Herleitung der so genannten Mischenergie.
In Abhängigkeit von den in einer verformten Konfiguration wirkenden Verschiebungen u
und dem zugehörigen Deformationsgradiententensor F = ∇u+I kann das Gesamtpotential
Π eines typischen Problems aus der Kontinuumsmechanik wie folgt formuliert werden:
∫
Π(u) = Ψ(F) dV − l (u)+k mit u = 0 auf Γ u , (A.1)
Ω
wobei l (u) ein linearer Term in u und Γ u derjenige Teil der Berandung des vom Körper
eingenommenen Gebiets Ω ist, auf welchem die Verschiebung vorgeschrieben ist. Die Konstante
k ist für die Minimierung des Gesamtpotentials nicht von Bedeutung und kann daher
im Folgenden vernachlässigt werden.
Die Herleitung von Gleichung (A.1) aus der bekannteren Form
∫
∫
∫
Π(φ) = Ψ(F) dV − q · φ dV − t · φ dA mit φ − x = u ∗ auf Γ u
Ω
Ω
Γσ
(A.2)
ist in Heinen (2004b) dargestellt. In Gl. (A.2) ist φ die Abbildung der Koordinaten X der
Ausgangskonfiguration auf die Koordinaten x der verformten Konfiguration, q ist die Volumenkraftdichte,
die in Ω wirkt, und t steht für die Oberflächenkräfte, die auf dem Rand Γσ
vorgeschrieben sind.
Nach dem Prinzip des Minimums des Gesamtpotentials ist (A.1) für die tatsächliche Deformation
minimal. Es stellt sich daher die Frage, unter welchen Bedingungen ein solches
Potential überhaupt ein Minimum besitzt. Umfangreiche mathematische Beweise, wie sie
unter anderem in Morrey (1952) und Dacorogna (1982) zu finden sind, zeigen, dass hierfür
folgende drei Kriterien erfüllt sein müssen:
• Beschränktheit: Ein Potential heißt beschränkt, wenn es ein a > 0 und ein p ≥ 1
gibt, so dass gilt:
√
|Ψ(F)| ≤a (1 + ‖F‖ p ) mit ‖F‖ = (F ij F ij ) . (A.3)
Diese Bedingung ist recht leicht zu überprüfen und für die meisten Potentiale erfüllt.
Sie verhindert zu starke Anstiege oder Sprünge im Potential. Im Falle der in dieser