Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

26 3. Elastische Energie monokristalliner Formgedächtnismaterialien
wobei cons hier noch für die Nebenbedingung χ (y) ∈P n+1
pure steht, da die Periodizität des
Verschiebungsfluktuationsfeldes und die korrekten gemittelten Volumenanteile bereits durch
die Ansätze in Fourierreihen sichergestellt sind.
Minimiert man nun in Gl. (3.9) über alle symmetrischen Tensoren γ = ¯γ T ∈ C d×d anstatt
über alle Gradientenfelder iξ ⊗ s ϕ T ξ
, erhält man die Reuß-Grenze für die Mischenergie
ψ mix (c) ≥ ψ Reuß (c) =− 1 2
n∑
c i η i : C : η i + 1 2
i=0
n∑
i=0
n∑
c i c k η i : C : η k . (3.10)
Durch die Erweiterung der Menge zulässiger Mikrostrukturen, über die minimiert wird,
werden potentiell tiefere Minima eingeschlossen. Bei der Reuß-Grenze handelt es sich also
um eine untere Grenze der Mischenergie.
In Govindjee et al. (2003) konnte bewiesen werden, dass die Reuß-Grenze unter bestimmten
Bedingungen exakt der quasikonvexifizierten Energiedichte entspricht. Hierzu wurde
gezeigt, dass diese für einen Vektor c unter folgenden Voraussetzungen mit der in Kapitel
3.1.3 erläuterten oberen Laminatgrenze erster Ordnung zusammenfällt:
1. Der Volumenanteilsvektor c lässt sich als lineare Kombination zweier Vektoren c (1)
und c (2) darstellen, für die die Reuß-Grenze exakt ist. Dies ist insbesondere für reine
Varianten der Fall.
2. Die zu c (1) und c (2) gehörigen gemittelten Transformationsdehnungen
η c(1/2) =
n∑
i=0
sind Rang-1-kompatibel, es gilt also
c (1/2)
i η i (3.11)
η c(1) − η c(2) = a ⊗ s b (3.12)
für zwei Vektoren a, b ∈ R 3 .
k=0
3.1.2. Untere H-Maß-Grenze
Der Vollständigkeit halber sei hier auch die in Govindjee et al. (2003) hergeleitete H-Maß-
Grenze erwähnt.
Die in Tartar (1990) eingeführten H-Maße sind eine vereinfachte Repräsentation von Mikrostrukturen.
Hierzu wird, wie auch im vorhergehenden Abschnitt, der die Mikrostruktur
charakterisierende Schaltvektor χ (y) in Fourier-Reihen entwickelt.
Diejenigen Fourier-Koeffizienten mit gleicher Richtung ω (z.B. χ (1,2) , χ (2,4) , usw. für ω =
(1, 2) / √ 5) werden aufsummiert, wodurch eine tensorwertige Funktion über der Menge aller
Richtungen ω ∈ S d−1 entsteht:
µ (ω) =
∑
ξ∈Γ\{0},ξ/|ξ|=ω
χ ξ ⊗ χ¯
ξ . (3.13)