Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

24 3. Elastische Energie monokristalliner Formgedächtnismaterialien
steigen, zum Anderen machen Fehlstellen, wie sie in jedem tatsächlichen Material vorkommen,
eine realistische Modellierung auf einer derart feinen Skale unmöglich.
Um die Problematik einer zu feinskaligen Betrachtung zu vermeiden, werden Materialmodelle
mit einer geringeren Auflösung aufgestellt, welche als unabhängige Variable von
den mittleren Volumenfraktionen c in einem so genannten repräsentativen Volumenelement
(RVE) Ω=(0, 1) d ⊂ R d abhängen. Hierbei ist d die Dimension des jeweiligen Problems.
Zusätzlich ist zu beachten, dass verschiedene Punkte in einem solchen RVE unterschiedliche
Verschiebungen aufweisen können. Dies wird beim Aufstellen der Energiedichte durch
Einführung eines vom Ort y abhängigen Verschiebungsfluktuationsfeldes ϕ berücksichtigt,
dessen symmetrisierter Gradient zur gegebenen Dehnung ε hinzuaddiert wird.
Durch Mittelung der Energie über das RVE ergibt sich die quasikonvexifizierte Energiedichte.
Vom mathematischen Standpunkt her ist Quasikonvexität eine notwendige Eigenschaft
für die Existenz eines Minimums der elastischen Energie, wie in Anhang A näher erläutert.
Für feste Volumenfraktionen ist
⎧
⎨∫
QΨ(ε, c) = inf Ψ(ε + ∇ s ϕ (y) , χ (y)) dy
⎩
∣
Ω
⎫
∫
⎬
ϕ ∈ Wper 1,2 (Ω) , χ (y) ∈Ppure n+1 , χ (y) dy = c
⎭ , (3.3)
Ω
die quasikonvexe Hülle der Energiedichte (3.1), welche als minimale Energie pro Volumeneinheit
definiert ist. Die Minimierung ist hierbei über alle möglichen Mikrostrukturen und
Verschiebungsfluktuationen durchzuführen. Die Mikrostrukturen gehen über den “Schaltvektor”
χ (y) in die Gleichung ein. Dieser liegt in der Menge aller reinen Varianten
P n+1
pure = {i 0 , i 1 ,...,i n } = { (1, 0,...,0) T , (0, 1,...,0) T ,...,(0,...,0, 1) T} (3.4)
und gibt an, welche Variante sich an welcher Stelle y im RVE befindet. Die Integration von
χ über Ω muss daher den Vektor der mittleren Volumenfraktionen c ergeben. Da es sich bei
ϕ um ein Fluktuationsfeld handelt, muss dieses im Mittel den Wert null besitzen.
In Gl. (3.3) wurde zunächst von bekannten Volumenfraktionen ausgegangen. Eine vollständige
Relaxierung des Problems berücksichtigt zusätzlich, dass sich auch die Volumenfraktionen
unter Belastung so einstellen, dass daraus die geringstmögliche Energiedichte resultiert,
also:
QΨ(ε) = min
c
QΨ(ε, c) u.d.N.
n∑
c i =1 ∧ c i ≥ 0 , i =0,...,n. (3.5)
i=0
Die hier aufgeführten Nebenbedingungen stellen die Massenerhaltung sicher und schließen
negative Volumenanteil aus.
Die in Gl. (3.3) eingeführte Energiedichte kann durch Ausmultiplizieren zu
QΨ(ε, c) =
n∑
[c i Ψ(ε, i i )] + ψ mix (c) (3.6)
i=0