Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

74 4. Materialverhalten polykristalliner Formgedächtnismaterialien
zur Anwendung:
⎛
⎜
⎝
⎞
σ 11
σ 22
√2σ23
σ 33
√2σ13 ⎟
⎠ √2σ12
⎛
= ⎜
⎝
⎛
⎞
C 11 C 12 ··· C 16
C 21 C 22 ··· C 26
⎟
. .
... . ⎠
⎜
C 61 C 62 ··· C
⎝
66
⎞
ε 11
ε 22
√2ε23
ε 33
√2ε13 ⎟
⎠ √2ε12
. (4.32)
Die Tensoreigenschaften von C wird in Mehrabadi and Cowin (1990) im Detail diskutiert.
Für die hier vorliegende Anwendung reicht es aus, dass die Inverse nach Gl. (4.31) äquivalent
zur Invertierung von C im sechsdimensionalen kartesischen Raum ist.
Durch Anpassung der chemischen Energien α i sowie des Dissipationsparameters r kann
sowohl pseudoelastisches als auch pseudoplastisches Materialverhalten abgebildet werden.
Als Beispiel für Pseudoelastizität werden folgende Werte gewählt: α 0 = −25 Nmm/mm 3 ,
α i =0Nmm/mm 3 ∀ i > 0 und r =6Nmm/mm 3 . Die so ermittelten Dehnungs-Verschiebungskurven
sind in Abb. 4.2 für axiale Belastung und reine Scherung dargestellt. Im oberen
Plot ist eine deutliche Asymmetrie zwischen Zug- und Druckbelastung auszumachen. Dieses
Phänomen entspricht verschiedenen experimentellen Beobachtungen und ergibt sich aus
dem zuvor dargestellten Modell ohne weitere Parameteranpassung.
Um die Eignung des Modells zur Abbildung von pseudoplastischem Materialverhalten zu
testen, werden die chemischen Energien auf die Werte α 0 =20Nmm/mm 3 für den Austenit
und α i =0Nmm/mm 3 ∀ i > 0 für den Martensit und der Dissipationsparameter auf r =
80 Nmm/mm 3 gesetzt. Erneut werden reine Scherung und axiale Belastung angenommen.
Die Ergebnisse zeigt Abb. 4.3.
In den Abbildungen 4.2 und 4.3 ist jeweils auch der Einfluss der Anzahl der verwendeten
Kristallorientierungen dargestellt. Es wird deutlich, dass das qualitative Materialverhalten
bereits mit nur zehn Orientierungen abgebildet werden kann, während quantitative Konvergenz
erst ab ungefähr einhundert Kristallausrichtungen zu beobachten ist.
Die Größe der Hysterese im vorliegenden Modell wird wesentlich durch die Wahl des Dissipationsparameters
r gesteuert. Dessen Einfluss auf das vorhergesagte Materialverhalten verdeutlicht
Abb. 4.4. Darin wurde das Beispiel aus Abb. 4.3 (oben) aufgegriffen und für 100
Kristallorientierungen und verschiedene Werte von r geplottet. Es zeigt sich, dass der Dissipationsparameter
hauptsächlich die Hysteresehöhe und weniger deren Breite beeinflusst,
welche im Wesentlichen durch die Transformationsdehnungen gegeben ist.
Der Einfluss der Textur auf das Materialverhalten ist in Abb. 4.5 dargestellt. Die Dehnungs-
Verschiebungsbeziehungen wurden mit zwei unterschiedlichen Vorzugsrichtungen n Vorz =
(1, 0, 0) und n Vorz =(1, 1, 1) sowie mit zwei Texturintensitäten q =2und q =4berechnet.
Es wird deutlich, dass die Textur mit der Vorzugsorientierung parallel zur Lastrichtung
die Transformation und damit die Verformung des Materials im Kompressionsbereich erleichtert.
Im Zugbereich hat weder die Orientierung noch die Intensität der Textur einen
nennenswerten Einfluss auf das Materialverhalten.