Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

4.2. Evolutionsgleichung 71
4.2. Evolutionsgleichung
Im vorhergehenden Abschnitt wurde die freie Energie einer polykristallinen Formgedächtnislegierung
für gegebene Volumenanteile c j i berechnet. Im Verlauf eines Belastungspfades
ändern sich diese Volumenanteile. Die hier verwendete Vorgehensweise und Notation ist
der zur globalen Optimierung der Laminatgrenze zweiter Ordnung in Kapitel 3.3.2 bereits
verwendeten ähnlich.
Zur Berücksichtigung des mit der Volumenanteilsänderung verbundenen Energieverlustes
wird die Dissipationsfunktion
∑
∆(ċ) =r√ N n∑
ξ j (ċj 2
i)
(4.15)
j=1
i=0
definiert. Die Evolution der Volumenfraktionen lässt sich daraus mittels Minimierung der
Gesamtleistung
L (c, ċ) = d dt Ψrel (ε, c)+∆(ċ) = ∂Ψrel
ċ +∆(ċ) (4.16)
∂c
bezüglich der Volumenfraktionen ċ für feste Dehnungen ε ermitteln. Diese Vorgehensweise
wurde erstmals von Ortiz and Repetto (1999) vorgestellt. Der Term −∂Ψ rel /∂c stellt hierbei
die zur Volumenanteilsevolution ċ thermodynamisch konjugierte Triebkraft dar. Diese wird
im Folgenden mit
q j i = − ∂Ψrel
∂c j i
= ξ
[η j j i : C eff :(ε − η eff )+ 1 2 (ε − η eff) :
(4.17)
(
C eff : ( C j ) −1
)
]
i : Ceff :(ε − η eff ) − α i
abgekürzt.
Die Nebenbedingungen der Massenerhaltung und Nichtnegativität der Volumenfraktionen
werden nun durch Lagrange-Parameter β j bzw. Kuhn-Tucker-Parameter γ j i berücksichtigt.
Damit ergibt Gl. (4.16):
( )
N∑ n∑ N∑ n∑
−qċ +∆+ β j − γiċ j j i → min . (4.18)
j=1
i=0
ċ j i
j=1
i=0
Hierbei wurde für jede Kristallorientierung ein eigener Lagrange-Parameter β j eingeführt,
da im Rahmen dieser Arbeit davon ausgegangen werden soll, dass keine Rekristallisation
stattfindet. Demzufolge muss die Massenerhaltung für jede Kornorientierung separat gelten.
Die Parameter γ j i sind für diejenigen Varianten inaktiv, also gleich null, welche positive
Volumenanteile oder zwar keinen positiven Volumenanteil, dafür aber eine positive Volumenanteilsentwicklung
aufweisen. Es gilt also:
{
γ j =0 für c
j
i > 0 ∨ ( c j i =0∧ ċ j i > 0 )
i
. (4.19)
> 0 sonst