Mikromechanische Modellierung von Formgedächtnismaterialien

2.2. Einführung in die Kristallographie 13
2.2. Einführung in die Kristallographie
Mit dem Aufbau und den Eigenschaften kristalliner Materialien, zu denen auch alle Metalle
gehören, beschäftigt sich die Kristallographie. Im Folgenden sollen die dieser Wissenschaft
zuzuordneten Begriffe eingeführt und erläutert werden, die für diese Arbeit relevant sind.
Umfassendere Darstellungen dieses Fachgebietes finden sich unter anderem in einführender
Literatur zur Kristallographie wie Borchardt-Ott (1987), Buerger (1977) und Kleber et al.
(1998) sowie in Standardwerken der Werkstoffwissenschaften wie Hornbogen (2006) oder
Schatt and Worch (2003). Eine ausführliche Darstellung der für Formgedächtnismaterialien
relevanten Transformationsmechanismen findet sich auch in Otsuka and Wayman (1999)
und Bhattacharya (2003).
Unter einem Kristall versteht man einen Festkörper mit regelmäßiger räumlicher Anordnung
seiner Atome. Ein Festkörper zeichnet sich hierbei dadurch aus, dass seine Atome
ihre Position im Körper in der Regel nicht verändern. Da die Regelmäßigkeit der Atomanordnung
von weitaus höherer Größenordnung ist als beispielsweise der Abstand zweier benachbarter
Atome zueinander, wird diese auch als Fernordnung bezeichnet. Die von den
Atommittelpunkten angenommenen Positionen bilden das so genannte Kristallgitter.
Um sich dem Aufbau kristalliner Strukturen systematisch zu nähern, ist es sinnvoll, zunächst
eine einzelne Ebene des Kristallgitters zu betrachten. Derartige Ebenen heißen Netzebenen.
Eine einfache allgemeine Netzebene ist in Abb. 2.3 abgebildet, wobei die Kreise für Atome
stehen. Hierbei werden zur Beschreibung der Kristallgeometrie Achsen x und z in diejenigen
Richtungen gelegt, in denen die meisten Atome pro Längenrichtung zu finden sind.
Die Wahl des Atoms, in welches das Koordinatensystem gelegt wird, ist hierbei willkürlich.
Parallel zu der x- und z-Achse werden Vektoren a und c eingeführt, welche die relative Lage
benachbarter Atome zueinander beschreiben. Die Vektoren a und c werden im Folgenden
Kantenvektoren genannt 6 . Der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel wird mit β bezeichnet.
Im Allgemeinen besteht weder zwischen der Länge der Vektoren a und c eine
feste Beziehung, noch muss β bestimmte Werte einnehmen. Das von a und c aufgespannte
Parallelogramm wird Elementarmasche genannt.
Da Kristalle dreidimensionale Strukturen sind, bestehen sie aus einer sehr großen Anzahl
von Netzebenen. Eine Möglichkeit, sich die räumliche Struktur von Kristallen zu verdeutlichen
besteht in deren Beschreibung als eine Aufeinanderschichtung von parallelen Netzebenen.
Da aufgrund der Periodizität der Kristalle parallele Netzebenen die gleiche Struktur
haben müssen, spricht man auch von Netzebenenscharen. Die Anordnung der Ebenen überund
untereinander wird durch Einführung einer dritten Koordinate y sowie eines dritten Kantenvektors
b beschrieben, wie in Abb. 2.4 dargestellt. Die Orientierung des neu eingeführten
Vektors wird so gewählt, dass a, b und c ein Rechtssystem bilden. Die Winkel zwischen a
bzw. c und b werden mit γ bzw. α bezeichnet. Das von a, b und c aufgespannte Parallelepiped
7 bildet die Elementarzelle einer kristallinen Struktur, welche in der Skizze durch
gestrichelte Linien dargestellt ist.
Abhängig von der genauen Geometrie der Elementarzelle unterscheidet man zwischen ver-
6 In der Literatur wird häufig auch ein x-y-Koordinatensystem mit Kantenvektoren a und b verwendet. Das
hier gewählte Koordinatensystem dient der besseren Anschaulichkeit der folgenden Skizzen.
7 Unter einem Parallelepiped oder Spat versteht man in der Geometrie einen von sechs ebenen, parallel
angeordneten Flächen begrenzten Körper.