Mikromechanische Modellierung von FormgedÃƒÂ¤chtnismaterialien

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38 3. Elastische Energie monokristalliner Formgedächtnismaterialien Ψmix Jmm³ 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 c 1 ⩵1, 0, 0, 0, 0, 0, 0;c 2 ⩵0, 1 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 , 1 6 Ψ ⋆ lam Ψ lam Ψ Reuß Λ⩵0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1Λ c 1 Λc 2 Abbildung 3.5.: Vergleich der Mischenergie-Grenzen für feste Volumenfraktionen. Kubisch-orthorhombisch transformierendes Material. Pfad von reinem Austenit zu gleichmäßiger Mischung aller Martensite. varianten. Hier beträgt die maximale Abweichung zwischen ψ Reuß und ψ lam , die in Abb. 3.6 und 3.7 jeweils auch vergrößert dargestellt ist, nur noch 0,8 bzw. 1,2 Promill, während die Laminatgrenze erster Ordnung eine bis zu 200fach höhere Abweichung von der Reuß- Grenze aufweist als die zweiter Ordnung. In der Berechnung von ψ ∗ lam wurde die Anzahl der ausgewerteten Permutationen der Grenze auf 1000 zufällig ausgewählte beschränkt. Die Bestimmung der Energiewerte aller 13! = 6, 2·10 9 ist mit heutigen Computern zum Einen kaum zu bewältigen und hätte zum Anderen, wie Testrechnung mit einer wesentlich höheren Anzahl von Zufallspermutationen gezeigt haben, die Grenze nicht wesentlich verbessert. Auch die Berechnung der Laminatgrenze zweiter Ordnung ist zunächst numerisch zu aufwändig zur Erstellung der hier abgebildeten Plots, da die Anzahl der Funktionsaufrufe von φ nach Gl. 3.17 zu hoch ist: für jede der 955 Möglichkeiten, die zwölf Martensitvarianten in kompatible Zwillinge nach Gl. 3.24 und Tab. 3.3 einzusortieren, sind 720 Permutationen der Zwillingsreihenfolge zu beachten, wie zuvor bereits erläutert. Nach der Definition der Laminatgrenze zweiter Ordnung, Gl. 3.25, sind zur Energiedichteauswertung für jede dieser Permutationen zwölf φ-Aufrufe notwendig. Dies würde zu einer Gesamtanzahl von 8,2 Millionen Berechnungen der Funktion φ führen, was vom numerischen Aufwand her zu aufwändig wäre. Um die Rechenzeit für die verzwillingte Laminatgrenze zu verringern, wurden daher für die hier dargestellten Rechnungen alle benötigten Aufrufe der Funktion φ, die oft in verschiedenen Permutationen der Grenze mehrfach auftreten, im Voraus berechnet und gespeichert. Hierdurch ließ sich die Anzahl der Funktionsaufrufe auf 21.504, und somit um den Faktor 380, verringern.
3.2. Vergleich der Grenzen für feste Volumenfraktionen 39 Abbildung 3.6.: Vergleich der Mischenergie-Grenzen für feste Volumenfraktionen. Kubisch-monoklin transformierendes Material. Pfad von einer Austenit-Martensit-Mischung zur anderen. Abbildung 3.7.: Vergleich der Mischenergie-Grenzen für feste Volumenfraktionen. Kubisch-monoklin transformierendes Material. Pfad von reinem Austenit zu gleichmäßiger Mischung aller Martensite.
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Seite 12 und 13: 2 1. Einleitung Abbildung 1.1.: Exp
Seite 14 und 15: 4 1. Einleitung bestätigen hierbei
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Seite 89 und 90: 4.4. Vorhersage der Texturentwicklu
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4.4. Vorhersage der Texturentwicklu
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4.5. Experimentelle Validierung 95
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102 5. Zusammenfassung und Ausblick
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104 A. Mathematische Kriterien für
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106 A. Mathematische Kriterien für
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108 B. Materialdaten B.2. Kubisch
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111 C. Notation In dieser Arbeit wu
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113 φ = inf { −G (ω) :(κ ⊗
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116 Literaturverzeichnis Govindjee,
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118 Literaturverzeichnis Roubí˘ce
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