Grafiken und Statistik in R

Likelihood-Verhältnis-Test (auch: Likelihood-Quotienten-Test, Likelihood-Ratio Test [engl.]) Der L.-V.-T. ist
ein relativ allgemein einsetzbares Verfahren zum Vergleich von Modellen auf der Grundlage der Maximum
Likelihood-Schätzung. Verglichen werden jeweils zwei Modelle:
Ein Ausgangsmodell, welches i.a. mehrere Modellparameter enthält, und ein Vergleichsmodell, in welchem
einem oder mehreren dieser Parameter Restriktionen auferlegt wurden. (Das Ausgangsmodell heißt daher
auch unrestringiertes Modell, das Vergleichsmodell restringiertes Modell; diese Begriffe sind aber immer
relativ zum jeweiligen Test-Ziel zu verstehen). Der Vergleich dient stets der Prüfung, ob das unrestringierte
Modell tatsächlich (signifikant) „besser“ ist als das restringierte, d.h. einen besseren Fit aufweist. Ist das
nicht der Fall, ist das restringierte Modell, weil einfacher (und dennoch hinsichtlich der Erklärungskraft
nicht schlechter), vorzuziehen. Folgende „Restriktionen“ wären z. B. denkbar (dies dürften die wichtigsten
praktischen Anwendungsbedingungen sein):
• Alle Parameter werden auf Null gesetzt. Dies ist eine Prüfung, ob das unrestringierte Modell
insgesamt mehr „erklärt“ als rein durch Zufallsschwankungen (im Rahmen der Stichprobenziehung) zu
erwarten wäre. Dieser Test entspricht dem F-Test auf Signifkanz des Gesamtmodells in der linearen
Regressionsanalyse. Er wird von vielen Statistik-Paketen standardmäßig bei der Modellschätzung
ausgegeben.
• Ein Parameter wird auf Null 46 gesetzt. Dies ist eine Prüfung, ob die betreffende Variable einen statistisch
signifikanten Einfluß auf die abhängige Variable hat. Diese Prüfung ist anderen Statistiken (etwa mittels
der Wald-Statistik oder der t-Statistik) überlegen.
• Mehrere Parameter werden auf Null gesetzt. Hier soll geprüft werden, ob eine Gruppe von Variablen
einen statistisch signifikanten Einfluß auf die abhängige Variable hat.
• Zwei oder mehr Parameter sollen identisch sein (oder eine bestimmte, vorgegebene Differenz aufweisen).
Hiermit kann geprüft werden, ob die Beträge zweier (oder mehrerer Parameter) sich in statistisch
signifikanter Weise voneinander unterscheiden bzw. ihre Differenz einen bestimmten Betrag über- bzw.
unterschreitet.
(Quelle: http://www.lrz-muenchen.de/~wlm/ilm_l7.htm).
Logarithmustransformation s. Symmetrisierung.
M
Mahalanobisdistanz Einige Einschränkungen der Euklid - Distanz können durch die sog. Mahalanobisdistanz
behoben werden. Insbesondere dann, wenn die Merkmale einen zu kleinen Maßstab haben und/oder hoch
korreliert sind. Die Mahalanobisdistanz ein Maß, das angibt wie weit die unabhängigen Variablen vom
Durchschnitt aller Klassen abhängen. Eine große Mahalanobisdistanz steht für die Fälle, die extreme Werte
von einer oder von mehreren unabhängigen Variablen aufweist. Die Mahalanobisdistanz beseitigt einige
Einschränkungen der Euklid - Distanz:
es berücksichtigt automatisch die Skalierung der Koordinatenachsen (es ist skaleninvariant), es behebt
Korrelationen zwischen unterschiedlichen Merkmalen, es kann ebenso verwendet werden, wenn die Grenze
zwischen den Merkmalen linear oder gekrümmt verläuft. Die Vorteile, die dieses Maß bietet, haben aber ihren
Preis: die Kovarianzmatrix 47 kann schwer bestimmbar sein und der Speicherbedarf sowie der Zeitaufwand
nehmen im quadratischen Maße zu, wenn die Anzahl der Merkmale steigt. Dieses Problem ist sicher
unbedeutend, wenn nur wenige Merkmale geclustert werden sollen, verschärft sich aber bei vielen Merkmalen.
In der Diskriminanzanalyse wird die Zuordnung eines Punktes zu einer bestimmten gegebenen Population
unter anderem mit der Mahalanobis-Distanz bestimmt. s.a Distanzmaße.
46 Man beachte: In der Praxis heißt „Parameter auf Null setzen“ nichts anderes als ein Modell zu schätzen, in welchem
die entsprechenden Variablen weggelassen werden. Andere Restriktionen (wie die zuletzt genannte) sind nicht in allen
Statistikpaketen standardmäßig implementiert.
47 Streuungsmatrix der Zeilen- und Spaltenwerte
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