Travaux sur les symétries de Lie des équations aux ... - DMA - Ens

∂Here, the coefficients of the2 Twill not be touched anymore, but the∂a µ ∂a νcoefficients of the ∂T must be subjected to further transformations towards∂a νformal harmony, especially the numerator involving a subtraction.First of all, let us rewrite in length the concerned partial derivative of theappearing modified Jacobian determinant 28 :( ) [∂∂a □ν µ [01+l2 ] =∂□ ( a 1 | · · · |a ν−1 |0∂a µ [1+l2 ]|a ν+1 | · · · |a n+1)]= □ ( a 1 a µ | · · · |a ν−1 |0 [1+l2 ]|a ν+1 | · · · |a n+1) + · · ·++ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 a µ |0 [1+l2 ]|a ν+1 | · · · |a n+1)+ 0++ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |0 [1+l2 ]|a ν+1 a µ | · · · |a n+1) + · · ·++ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |0 [1+l2 ]|a ν+1 | · · · |a n+1 a µ) ,and also at the same time the partial derivative of the plain Jacobiant determinant:( ) [∂∂a □ =∂□ ( a 1 | · · · |a ν−1 |a ν |a ν+1 | · · · |a n+1)]µ ∂a µ= □ ( a 1 a µ | · · · |a ν−1 |a ν |a ν+1 | · · · |a n+1) + · · ·++ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 a µ |a ν |a ν+1 | · · · |a n+1) ++ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |a ν a µ |a ν+1 | · · · |a n+1) ++ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |a ν |a ν+1 a µ | · · · |a n+1) + · · ·++ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |a ν |a ν+1 | · · · |a n+1 a µ) .Consequently, the numerator with a subtraction that we want to simplifymay be rewritten in length as follows:( )∂(7.28) □ ·∂a □ν µ [01+l2 ] − □ν[01+l2 ] · ( )∂∂a □ =µ229= □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |a ν |a ν+1 | · · · |a n+1) · □ ( a 1 a µ | · · · |a ν−1 |0 [1+l2]|a ν+1 | · · · |a n+1) + · · · +a+ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |a ν |a ν+1 | · · · |a n+1) · □ ( a 1 | · · · |a ν−1 a µ |0 [1+l2]|a ν+1 | · · · |a n+1) +b+ 0++ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |a ν |a ν+1 | · · · |a n+1) · □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |0 [1+l2]|a ν+1 a µ | · · · |a n+1) + · · ·+c+ □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |a ν |a ν+1 | · · · |a n+1) · □ ( a 1 | · · · |a ν−1 |0 [1+l2]|a ν+1 | · · · |a n+1 a µ) −d28 Remind that, in order to differentiate a determinant, one should differentiate separatelyeach column once and then sum all the obtained terms.